Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Nguyên hàm, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác.Image.Marked.pdf ✅

Trang 3    : Đặt , 2 b a mx n px qx r dx      2 u  px  qx  r   .  : Nếu thì đặt . b a x m x m dx         u  x  n - Dạng : Lập . 2 1 b a dx px  qx  r  2   q  4 pr : Dùng công thức   2 0 b a dx mx n      : Đặt 2 2 0 b a dx x k      x  k tan t : Biến đổi 2 2 0 b a dx x k      2 2 1 1 1 1 x k 2k x k x k            - Dạng : Lập 2 b a mx n dx px qx r     2   q  4 pr   0  Phân tích và dùng công thức.     2 2 2 2 2 ' 0 mx n A px qx r B px qx r px qx r x  k               - Dạng : đặt .     1 1 1 b b n m m n n n a a dx x dx x x x x       1 n t   x Chú ý: Cho hàm số liên f  x tục trên đoạn . a;a Nếu f lẻ thì .   0 Nếu f chẵn thì . a a f x dx        0 2 a a a f x  f x dx   Nguyên hàm lượng giác: cos xdx  sin x  C  cosu.u '.dx sin u  C  sin xdx  cos x  C  sin u.u '.dx  cosu  C  2 tan cos dx x C x    2 ' tan cos u dx u C u    2 cot sin dx x C x     2 ' cot sin u dx u C u    
Trang 4 Các biến đổi: hạ bậc lượng giác, tích thành tổng, theo góc phụ ,... tan 2 x t                1 1 sin . sin .sin sin sin sin x a x b x a x b a b x a x b                2 2 1 1 1 . asin x bcos x a b sin x        2 2 2 2 1 1 1 .1 cos asin x bcos x a b a b x         sin cos  sin cos ' sin cos sin cos sin cos x x A a x b x c B a x b x c a x b x c a x b x c                2 2 2 2 1 1 1 . asin x bsin x cos x cos x a tan x b tan x c cos x            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos ' sin cos sin cos sin cos x x A a x b x a x b x a x b x       Đặc biệt cận tích phân: đối, bù, phụ thì đặt tương ứng . Tích phân liên , , kết, để 2 t x t x t x         tính I thì đặt thêm J mà việc tính tích phân và I  J I  J hoặc và I  kJ I  mJ dễ dàng lợi hơn. Tích phân truy hồi theo hay thì tách lũy thừa 1 và dùng phương pháp tích phân từng n I n 1 I  n 2 I  sin ,cos n n x x phần còn tách tan ,cot lũy thừa 2 và dùng phương pháp tích phân đổi biến số. n n x x Nếu hàm số liên f  x tục trên đoạn thì: a;b         /2 /2 0 0 0 0 sin cos ; sin sin 2 f x dx f x dx xf x dx f x dx            Các dạng tích phân lượng giác:  .sin ,  .cos : đặt hoặc b b a a P x xdx P x xdx   u  P x,v '  sin cosx   : đặt /2 0 R x,sin x,cos x dx   2 x t      : đặt 0 R x,sin x,cos x dx   x    t