Tiêu đề Chương 5 - 42 bài.Image.Marked.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC Câu 1: Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T  24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã). Gọi n u là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n . a) Tìm số hạng tổng quát n u của dãy số un  . b) Chứng minh rằng un  có giối hạn là 0. c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 6 10 g  . Lời giải a) Ta có: 2 1 2 3 1 1 1; ; ; 2 2 u u u           Suy ra un  lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu 1 u 1 và 1 2 q  có số hạng tổng quát là: 1 1 2 n n u         . b) Ta có: 1 1 lim lim 0 2 n n u          . c) Đổi 1 1 1 1 3 kg 10 g 2 2 n n n u                  Để chất phóng xạ bé hơn   6 10 g  thì 1 1 3 6 10 10 n>31 2 n           . Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người. Câu 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 3 100m ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu? Lời giải CHƯƠN G V GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 2 Sưu tầm và biên soạn   2 3 1 3 100 100 0,8 100 (0,8) 100 (0,8) 100 500 1 0,8          m  . Câu 3: Cho tam giác OA1A2 vuông cân tại A2 có cạnh huyền OA1 bằng a . Bên ngoài tam giác OA1A2 , vẽ tam giác OA2A3 vuông cân tại A3 . Tiếp theo, bên ngoài tam giác OA2A3 , vẽ tam giác OA3A4 vuông cân tại A4 . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc A1A2A3A4 Lời giải Ta có các góc 1 2 2 3 3 4 AOA , A OA , A OA , đều bằng 45  . Ta có: 1 2 2 1 2 2 3 3 2 2 3 3 4 4 3 2 cos 45 2 2 2 2 cos 45 ; 2 2 2 2 2 2 cos 45 ; 2 2 2 A A OA OA a A A OA OA a a A A OA OA a a                                       Vậy độ dài các đoạn thẳng 1 2 2 3 3 4 A A , A A , A A , tạo thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 2 2 a và công bội bằng 2 2 . Do đó, độ dài đường gấp khúc A1A2A3A4 là 2 1 2 2 (2 2) (1 2). 2 2 2 2 2 1 2 a a a l        a    Câu 4: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 1. Nối các trung điểm 1 1 1 A , B ,C của các cạnh BC,CA, AB ta được tam giác đều A1B1C1 . Tiếp tục nối các trung điểm 2 2 2 A , B ,C của các cạnh 1 1 1 1 1 1 B C ,C A , A B ta được tam giác đều A2B2C2 , thực hiện quá trình này đến vô hạn. Gọi n S là diện tích của tam giác đều AnBnCn . a) Tính 8 S b) Tính tổng diện tích các tam giác đều AnBnCn thu được c) Tính tổng các độ dài 1 1 2 2 3 1 ... ... n n l  AA  A A  A A   A  A 
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Lời giải a) Diện tích tam giác ABC là: 0 3 4 S  Ta có: 1 0 2 1 3 2 1 1 1 , , ,... 4 4 4 S  S S  S S  S . Do đó Sn là một cấp số nhân với công bội 1 4 q  8 7 8 8 1 0 9 3 1 3 . . . 4 4 4 S S q S q            b) Tổng diện tích các tam giác đều AnBnCn là tổng của một CSN lùi vô hạn với công bội 1 4 q  . Do đó tổng diện tích là 1 1 2 3 3 ... ... 1 12 n S S S S S S q          c) Đặt 1 1 2 1 2 3 2 3 1 , , ,..., n n n u  AA u  A A u  A A u  A  A , ta có: 1 2 1 3 2 1   3 1 1 1 , , ,..., ,... 2 2 2 2 n n n u u u u u u u u       là một CSN lùi vô hạn với công bội 1 2 q  1 3 1 u l q     . Câu 5: Cho đường tròn C tâm O, bán kính r  20cm . Vẽ đường trònC1  đi qua tâm O và tiếp xúc với C, vẽ đường tròn C2  đi qua tâm của C1  và tiếp xức với C1 . Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. Ta tô màu phần ngoài của hình tròn mới theo quy luật nhu hình vẽ dưới đây. Tình diện tích toàn bộ phần tô màu. B3 C3 A3 C2 B2 C A2 1 B1 A1 B C A
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 4 Sưu tầm và biên soạn Lời giải Diện tích hình tròn ban đầu là   2 0 S  400 cm Gọi n S là diện tích của hình tròn Cn   Sn là một cấp số nhân với công bội 1 4 q  Gọi n u là diện tích phần tô màu ở bước thứ n , khi đó: 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 ; ;..., 2 2 2 n n n u S S u S S u S S        Tổng diện tích phần tô màu là:         1 2 0 1 1 2 ... 0 1 2 ... 1 2 1 ... ... ... ... ... 2 1 1 ... 2 2 1 200 . 2 1 400 3 n n n n S u u u S S S S S S S S S S S q cm                            Cách khác: Diện tích phần tô màu ở bước nào thì bằng diện tích của hình tròn tạo mới ở bước đó Do đó:   1 2 1 2 1 2 400 ... ... ... ... 1 3 n n S S u u u S S S cm q               . Câu 6: Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như hình bên dưới. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. O O1 O2 O3