Tiêu đề Bài 5_Dãy số_KNTT_Đề không dòng chấm.pdf ✅

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 5: DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ a) Nhận biết dãy vô hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *  được gọi là một dãy số vố hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u  u(n) . - Ta thường viết n u thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u  u(n) bởi un  , do đó dãy số un  được viết dưới dạng khai triển 1 2 3 u ,u ,u ,,un , Số 1 u gọi là số hạng đầu, n u là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Chú ý. Nếu * n ,un  c thì un  được gọi là dãy số không đổi. a) Nhận biết dãy hữu hạn - Mỗi hàm số u xác định trên tập M  {1;2;3;,m} với * m được gọi là một dãy số hữu hạn. - Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là 1 2 , ,, m u u u . Số 1 u gọi là số hạng đẩu, số m u gọi là số hạng cuối. 2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN a) Nhận biết dãy số tăng giảm - Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu ta có n1  n u u với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu ta có n1  n u u với mọi * n . b) Nhận biết dãy số bị chặn - Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un  M với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho un  m với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  un  M với mọi * n . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp Một dãy số có thể cho bằng:
- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả; - Phương pháp truy hồi. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho dãy số ( n u ) xác định bởi ( 1) 2 1 n n n u n     . Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số.. Ví dụ 2. Cho dãy số   n u , từ đó dự đoán n u a)   1 n n 1 n u 5 u : u u 3         ; b)   1 n n 1 n u 3 u : u 4u        Ví dụ 3. Cho dãy số   n u , từ đó dự đoán n u a)   1 n n 1 n u 1 u : u 2u 3         ; b)   1 n 2 n 1 n u 3 u : u 1 u          Dạng 2. Tính tăng giảm của dãy số 1. Phương pháp  (un) là dãy số tăng  un+1 > un,  n  N*.  un+1 – un > 0 ,  n  N*  1 1 n n u u   ,n  N* ( un > 0).  (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.  un+1 – un< 0 ,  n  N*  1 1 n n u u   , n  N* (un > 0). 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 2 3 n u  n  b) 2 n nn u  Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 2 1 n n u n   b) 1 n n n u n    Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của dãy số sau: a) 1 2 n u n   b) 1 1 n n u n    Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) 2 1 5 2 n n u n    b) 2 2 5 n u  n  Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của dãy số sau:
a) 2 2 2 1 1 n n u n    b) 1 n u  n   n Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) 2 3 2 1 1 n n n u n    b) 1 1 n n u n    Ví dụ 7. Xét tính tăng - giảm của dãy số un  với 1 3 2 n n n u   . Ví dụ 8. Xét tính tăng - giảm của dãy số un  với 2 n nn u  . Ví dụ 9. Xét tính tăng - giảm của dãy số un  với 2 3 n n u n  . Ví dụ 10. Xét tính tăng - giảm của dãy số un  với 1 n u  n  n  . Ví dụ 11. Với giá trị nào của a thì dãy số un , với 2 1 n na u n    a) là dãy số tăng. b) là dãy số giảm Dạng 3. Dãy số bị chặn 1. Phương pháp  (un) là dãy số bị chăn trên M  R: un  M, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. Chú ý: +) Trong các điều kiện về bị chặn ở trên thì không nhất thiết phải xuất hiện dấu ‘’ +) Nếu một dãy số tăng thì luôn bị chặn dưới bởi 1 u ; còn dãy số giảm thì bị chặn trên bởi 1 u . 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 2 1 2 3 n n u n    b) 7 5 5 7 n n u n    Ví dụ 2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 1 2 3 n u n   b)   1 1 n u n n   Ví dụ 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 1 2 1 n u n   b) 2 1 1 n n u n   Ví dụ 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau: a) 2 2 2 . 1 n n u n   b) 2 2 2 1 . 4 2 n n u n n n     
Ví dụ 5. Cho dãy số  , n u với 1 3 ( 1) 4 ( 1) n n n n u n       a) Tính 6 số hạng dầu tiên của dãy, nêu nhận xét về tính đơn điệu của dãy số. b) Tính 2n u và 2n 1 u  . Chứng minh rằng 3 4 0 4 1 n n u n     . Ví dụ 6. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số ( n u ) cho bởi: a) 2 3 2 n n u n    b) 1 ( 1) n u n n   Ví dụ 7. Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số un  cho bởi: a) 2 2 2 1 n n n u n n     b) 2 2 n n u n n n    Ví dụ 8. Chứng minh rằng dãy số 3 1 n n u n    giảm và bị chặn. Ví dụ 9. Chứng minh rằng dãy số 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) n u n n      tăng và bị chặn trên. Ví dụ 10. Chứng minh rằng dãy số 2 2 1 2 3 n n u n    là một dãy số bị chặn. Ví dụ 11. Chứng minh rằng dãy số 1 1 0 1 4 2 n n u u u          a) Chúng minh rằng 8 n u  . a) Giả sử tồn tại 8 1 2 4 8 n n n u u u       Ví dụ 12. Chứng minh rằng dãy số 1 1 1 2 1 n n n u u u u           a) Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy số b) Chứng minh rằng dãy số bị chặn dưới bởi 1 và bị chặn trên bởi 3 2 Ví dụ 13. Chứng minh rằng dãy số 1 1 2 2 n n u u u         tăng và bị chăn trên bởi 2. C. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 2.1. Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số un  có số hạng tồng quát cho bởi: a) 3 2 n u  n  ; b) 3 2 n n u   ; c) 1 1 n n u n         .