Tiêu đề TACH DE HSG 6 CHU DE 3 TINH CHAT CHIA HET TRONG TAP HOP STN PHAN 5.docx ✅

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16 CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A. PHẦN NỘI DUNG I. Quan hệ chia hết và tính chất. Dạng 1: Chứng minh chia hết. Bài 1: Chứng minh rằng : 123100333...3120()xxxxxN⋮ . Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021 – 2022 Lời giải Ta có : 123100333...3xxxx 12345678979899100333333...3...333...3xxxxxxxxxxxx 2344234962343.33333.3333...3.3333xxx 496 3.1203.120...3.120xxx 496120.33...3120xx⋮ Bài 2: Cho 234562016555555...5S . Chứng tỏ rằng S chia hết cho 65 . Trích đề KS HSG thị xã Sơn Tây năm 2021-2022 Lời giải Ta có: 234335555555551305.130130.612.65 Suy ra 234555565⋮ . 234562016 555555...5S 23442342012234555555555...55555S Tổng trên có 504 số hạng chia hết cho 65 nên S chia hết cho 65 . Vậy S chia hết cho 65 . Bài 3: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng : 2124p⋮ Trích đề kiểm định chất lượng HSG huyện Nghĩa Đồng năm 2021-2022. Lời giải vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 . Ta có 221111pppppp do p là số lẻ nên 21pk *kN 2 1(1)(1)2(22)4(1)8pppkkkk⋮ (1) Mặt khác 1,,1ppp là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 , mà p không chia hết cho 3 nên 1p hoặc 1p chia hết cho 3 . Từ đó suy ra 21113ppp⋮ (2) Vì (3;8)1 và từ (1) và (2) nên suy ra 2124p⋮ Bài 4: Chứng tỏ: 10181n An chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Trích đề thi chọn HSG huyện Kim Sơn năm 2021-2022 Lời giải 10181101927nnAnnn 9.(11.....1)27 n nn  Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 do đó 11.....19 n n⋮  nên 9.(11.....1)27 n n⋮  . Vậy 27A⋮ Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu 11abcdeg⋮ thì deg11abc⋮ .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16 Trích đề thi chọn HSG huyện Tiên Du năm 2021-2022 Lời giải Ta có: deg10000.100.abcabcdeg = (9999.99.)()abcdabcdeg = 99.(101.)()abcdabcdeg = 11.9.(101.)()abcdabcdeg Do 11.9.(101.)11abcd⋮ và theo bài ra ()11abcdeg⋮ Suy ra: deg11abc⋮ Vậy nếu 11abcdeg⋮ thì deg11abc⋮ . Bài 6: Cho 111 1....2.3.4.....2022 232022A    . Hỏi A có chia hết cho 2023 không? Trích đề đề xuất HSG huyện năm 2021 - 2022 Lời giải 111 1... 232022 1111111 1...... 2310101011101210132022     (mỗi ngoặc có 1010 số hạng) 1111111 1...... 2022220213202010101011     2023202320232023 ... 1.20222.20213.20201010.1011 1111 2023.... 1.20222.20213.20201010.1011     2023202320232023 ... 1.20222.20213.20201010.1011 2023202320232023 ... 1.20222.20213.20201010.1011 Khi đó 1111 2023.2.3.4.....2022.... 1.20222.20213.20201010.1011A    Đặt 2.3.4.....2022m Khi đó 1111 2023..... 1.20222.20213.20201010.1011Am    2023....1 1.20222.20213.20201010.1011 mmmm A    Vì 2.3.4.....2022m * ;;;...; 1.20222.20213.20201010.1011 mmmm ℕ *...2 1.20222.20213.20201010.1011 mmmm   ℕ
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16 Từ 1 và 2 2023A⋮ . Vậy A chia hết cho 2023 Bài 7: Cho ;;;abcd là các số nguyên ac với thỏa mãn abcd chia hết cho –ac . Chứng tỏ rằng adbc chia hết cho –ac . Trích đề HSG huyện Thiệu Hoá năm 2021 - 2022 Lời giải Xét hiệu: –––abcdadbcabbccdad –––––bacdacaacbcd⋮ Mà caabcd⋮  caadbc⋮ (điều phải chứng minh) Bài 8: Chứng tỏ rằng 20212020275.44....44125M chia hết cho 100 . Trích đề HSG huyện Tân Yên năm 2021-2022 Lời giải Chứng tỏ rằng 20212020275.44....44125M chia hết cho 100 . Đặt 20212020244...44175.25SMS Ta có 202120202202220213244...441444...444SS => 2022 202241 441 3SSS  . Do đó 20222022202220214175.2575.2525.412525.4100.4 3MS  Suy ra 100M⋮ Bài 9: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 , trong đó số sau lớn hơn số trước là d đơn vị. Chứng minh d chia hết cho 6 . Trích đề HSG huyện Quế Võ năm 2021 – 2022 Gọi ba số nguyên tố đã cho là ;;2ppdpd . Để chứng minh d chia hết cho 6 ta phải chứng minh d chia hết cho cả 2 và 3 . a) Chứng minh d chia hết cho 2 : Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, mà pd là số nguyên tố d là số chẵn :2d . b) Chứng minh d chia hết cho 3 : Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 31pq hoặc 32pq (với *qℕ ) - Trường hợp 1: 31pq
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 16 +) Nếu d chia 3 dư 1 thì 2d chia 3 dư 22pd chia hết cho 3 Mà 232pdpd là hợp số  loại. ) Nếu d chia 3 dư 2pd chia hết cho 3 Mà 3pdpd là hợp số  loại. Suy ra d phải chia hết cho 3 . - Trường hợp 2: 32pq +) Nếu d chia 3 dư 1pd chia hết cho 3 Mà 3pdpd là hợp số  loại. +) Nếu d chia 3 dư 2 thì 2d chia 3 dư 12pd chia hết cho 3 Mà 232pdpd là hợp số  loại. Suy ra d phải chia hết cho 3 . Do đó, d luôn chia hết cho 3 . Vậy bài toán được chứng minh. Dạng 2: Tìm số thỏa mãn điều kiện chia hết. Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1 , chia cho 4 dư 2 , chia cho 5 dư 3 chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11 . Trích đề đề xuất năm 2021-2022 Lời giải Gọi số phải tìm là x xN Theo bài ra ta có: 13x⋮ suy ra 23x⋮ 24x⋮ suy ra 24x⋮ 35x⋮ suy ra 25x⋮ 46x⋮ suy ra 26x⋮ Do đó 2(3,4,5,6)xBC Mà: (3,4,5,6)60BCNN nên 260xn Do đó 6021;2;3;......xnn Mặt khác x là số tự nhiên nhỏ nhất 11x⋮ nên lần lượt cho 1;2;3;.....n Ta thấy 7n thì ta được số 418 thỏa mãn. Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418 . Bài 2: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5 , chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3 . Trích đề HSG huyện Nga Sơn năm 2021-2022. Lời giải Gọi số cần tìm là a ( a là số tự nhiên khác 0 ). Vì a chia cho 9 dư 5 nên ta có 95 akkN thì 11291 (k)akN suy ra 219a⋮ Vì a chia cho 7 dư 4 nên ta có 74 ammN thì 11271 (m)amN suy ra 217a⋮ Vì a chia cho 5 dư 3 nên ta có 53 attN suy ra 11251 (t)atN suy ra 215a⋮ Suy ra 21a chia hết cho cả 9 ; 7 và 5 . Mà 9;7;5 nguyên tố cùng nhau và a là số tự nhiên nhỏ nhất nên 21(9;7;5)315aBCNN .