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UNIVERSITE CADI AYYAD FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA DEPARTEMENT DE PHYSIQUE MARRAKECH. ANNEE UNIVERSITAIRE 19/20 TD. N°1 MECANIQUE QUANTIQUE. SMP S4. Exercice 1 La fonction porté est définie par : Π(x) = { 1 si |x| ≤ 1 2 0 si |x| > 1 2 1) Vérifier que Π(x)  L1(R). 2) Tracez la fonction Π(x) en fonction de x. 3) Calculer la transformé de Fourier Π̂(k) de la fonction porté et la tracez en fonction de k. Soit la fonction δε (x) définie par : δε (x) = { 1 ε si |x| ≤ ε 2 0 si |x| > ε 2 4) Donner la relation entre δε (x) et Π(x). 5) En déduire de Π̂(k) la transformé de Fourier δ̂ ε (k). Retrouver ce résultat par un calcul direct. Exercice 2 On se propose de résoudre l’équation différentielle linéaire du second ordre, avec un second membre f(x)  L1(R). − 1 ω2 g"(x) + g(x) = f(x) 1) Appliquer la transformé de Fourier aux deux membres de cette équation et montrer qu’on a : ĝ(k) = ĥ(k) ∙ f̂(k) On donnera l’expression de ĥ(k) en fonction de k et . 2) Sachant que h(x) = αe −ω|x| , donner l’expression de la constante . 3) En déduire l’expression de g(x). Exercice 3 : Rayonnement du corps noir : On rappelle l’expression de la densité d’énergie, par unité de volume et de fréquence, rayonnée par un corps noir à l’équilibre thermodynamique (loi de Planck) : U(ν, T) = 8πh C 3 ν 3 e hν⁄kT − 1 1) Montrer que la densité d’énergie par unité de volume est donnée par la loi de Stefan-Boltzmann : E = σT 4 où σ = 7,5 ∙ 10−16Jm−3K −4 2) Ecrire la loi de Planck en terme de : U(,T).
3) Montrer que pour une température T donnée, la densité d’énergie présente un maximum λmax. En déduire la loi de déplacement de Wien. N.B. l’équation (1 − e −x ) = x 5 peut-être résolue graphiquement. La valeur est : xm = 4,96. 4) On considère le soleil comme un corps noir estimer sa température sachant que le maximum d’intensité du spectre solaire correspond à =0,55m. Commenter. On donne : c=3.108 m/s, h= 6,62. 10-34 Js, k=1,38. 1023J/K et ∫ x 3 e x−1 dx +∞ 0 = π 4 15 Exercice 4 : Cellule photoélectrique : Le métal formant la cathode d’une cellule photoélectrique (voir schéma du cours) est caractérisé par un travail d’extraction We = 2,5 eV. On l’éclaire avec de la lumière monochromatique de longueur d’onde λ = 400 nm. On donne ħc = 197,3 eV.nm, charge de l’électron −e = −1.6 × 10−19 C. 1) Pour la lumière utilisée, l’effet photoélectrique peut-il avoir lieu? Justifiez votre réponse. 2) Calculez l’énergie cinétique des électrons au moment de leur émission. 3) Que se passe-t-il si on inverse la polarité ? Donnez la définition du potentiel d’arrêt U0 et calculez sa valeur. 4) On fixe U à 10 Volts. Calculez l’énergie cinétique des électrons lors de leur arrivée sur l’anode. 5) Pour U=10 Volts, on a atteint le courant de saturation de la cellule. Expliquer ce que cela signifie. 6) Le courant mesuré est I = 1.6 μA, lorsque la cathode reçoit une puissance lumineuse P = 10−4 W. Quel est le rendement quantique R de la cellule, défini comme le rapport entre le nombre d’électrons émis et le nombre de photons reçus ? 7) Que peut-on faire pour augmenter le courant de saturation : augmenter le flux de photons atteignant la cellule ou bien diminuer la longueur d’onde de la lumière ? Justifiez votre réponse. Exercice 5 : Modèle de Bohr : Le modèle de Bohr correspond à un électron ponctuel (charge −e, masse me) en orbite sur une trajectoire circulaire de rayon r autour d’un noyau quasi ponctuel fixe (masse M >> me, charge +Ze). Ce modèle décrit l’atome d’hydrogène (Z = 1) ainsi que les ions à un électron He+ (Z = 2), Li2+ (Z = 3) etc... 1) Démontrer que la force d’attraction gravitationnelle électron-proton est environ 2×1039 fois plus faible que la force coulombienne et donc négligeable. On donne G = 6,7 ∙ 10−11Nm−2kg−2 , mp = 1,67 ∙ 10−27Kg, me = 9,1 ∙ 10−31Kg 1 4πε0 = 9 ∙ 109 (SI) et e = 1,6 ∙ 10−19C 2) Exprimer, dans le cadre de la mécanique classique, l’énergie cinétique Ec de l’électron et l’énergie potentielle Ep d’interaction entre l’électron et le noyau. 3) En appliquant le principe fondamentale de la dynamique, montrer que Ec = −Ep/2 et exprimer l’énergie totale E. 4) Bohr postulait une quantification du moment cinétique L = nħ (n entier positif). Montrer que ceci impose une quantification des rayons r des orbites sous la forme : r n = n2a0/Z où a0 est une constante que l’on calculera. On donne : ħc = 197,3 MeV.fm ; α−1 = 4πε0ħc/e2 = 137 et mec 2 = 0,511 MeV. 5) En déduire que la fréquence de rotation de l’électron peut s’exprimer sous la forme : 2 . 2 0 2 3 f n  Z  men a 6) Montrer que l’énergie totale E est également quantifiée sous la forme : En = −Z2 E1 /n2 ou` E1 est une constante que l’on calculera. 7) Calculer l’énergie que l’on doit fournir pour arracher le dernier électron d’un ion Fe25+ dans son état fondamental.
Corrigé Exercice 1 1) Π(x)  L1(R)  ∫ Π(x)dx +∞ −∞ ≠ ∞ ∫ Π(x)dx +∞ −∞ = ∫ dx 1⁄2 −1⁄2 = 1  Π(x)  L1(R). 2) 3) Π̂(k) = 1 √2π ∫ e −ikxdx 1⁄2 −1⁄2 = 1 √2π −1 ik [e −ikx] −1⁄2 1⁄2 = 1 √2π sin(k⁄2) k⁄2 4) δε (x) = 1 ε Π(x⁄ε) 5) D’après la formule (avec c>0): TF(f(cx)) = 1 c f̂(k⁄c) δε ̂ (k) = 1 ε TF(Π(x⁄ε)) = Π̂(εk) = 1 √2π sin(kε⁄2) kε⁄2 Par un calcul direct. δε ̂ (k) = 1 √2π 1 ε ∫ e −ikxdx ε⁄2 −ε⁄2 = 1 √2π 1 ikε [−e −ikx] −ε⁄2 ε⁄2 = 1 √2π sin(kε⁄2) kε⁄2 Exercice 2 − 1⁄2 1⁄2 1 Π(x)