Tiêu đề 048_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Quảng Nam_chuyên Tin_25-26 (1).pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÎ ̉NH QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THÚC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VÀ PTDTNT TỈNH NĂM HỌC 2025-2026 Môn thi: Toán (chuyên Tin học) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày: 04-06/6/2025 Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức 3 3 1 2 : 1 2 1 x x P x x x x     + + = − −         − − −   với điều kiện x x x    0, 1, 4 . a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm tất cả các giá trị của x để P −3. Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên ( x y; ) của phương trình 6 3 2 8 0 xy x y − + − = . b) Cho A m n m n = +  + (9 2024 2024 9 ) ( ) với m và n là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu A chia hết cho 19 thì A có ít nhất một ước số là số chính phương khác 1 . Câu 3. (1,5 điểm) a) Giải hệ phương trình 3 1 5 1 3 x y x y  + + =   + + =  b) Giải phương trình ( ) 2 x x x x − + = + − 2 2 1 1 . Câu 4. (1,0 điểm) Trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy , cho parabol ( ) 2 P y x : = − và đường thẳng (d y x m ): 3 3 1 = + − . Tìm tất cả các giá trị của m để (P) và (d ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x x; thoả mãn 2 2 1 2 1 2 x x x x + + =10. Câu 5. (3,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối không song song và tứ giác đó nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AB . Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD F, là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB và cắt đường thẳng AB tại H . a) Chứng minh tứ giác BCIH nội tiếp một đường tròn. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF tại điểm thứ hai là M . Chứng minh ba điểm E M F , , thẳng hàng. c) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng CH và BI . Chứng minh BN DN IN BD BN  = + ( ) . Câu 6. (1,0 điểm) Cho ba số dương x y z , , thoả mãn 2 2 2 x y z + + =1. Chứng minh rằng:

2a 6 3 2 8 0 6 3 2 1 7 2 1 3 1 7 xy x y xy x y y x − + − =  − + − =  −  + = ( ) ( ) Kẻ bảng các trường hợp 0,25 3 1 x + -7 -1 1 7 0,25 2 1 y − -1 -7 7 1 Giải các trường hợp trên với ( x y; ) là cặp số nguyên, ta được các nghiệm của phương trình đã cho là: (0;4) và (2;1) . 0,25 2b Giả sử (9 2024 2024 9 m n m n +  + ) ( ) :19 ( ) ( ) 9 2024 :19 2024 9 :19 m n m n  +   +  , vì 19 là số nguyên tố. 0,25 Trường hợp 1: (9 2024 m n + ) :19 Vì (9 2024 2024 9 2033 19.107 m n m n m n m n + + + = + = + ) ( ) ( ) ( ) :19 nên (2024 9 m n + ) :19 Do đó, (9 2024 2024 9 : 19.19 m n m n +  + ) ( ) ( ) hay 2 A:19 . 0,25 Trường hợp 2: (2024 9 19 m n + ) , tương tự ta cũng thu được ( ) ( ) 2 9 2024 2024 9 19 m n m n +  + Vậy nếu A chia hết cho 19 thì A có ít nhất một ước số là số chính phương khác 1 . 0,25 Câu 3. a) Giải hệ phương trình 3 1 5 1 3  + + =   + + =  x y x y b) Giải phương trình ( ) 2 x x x x − + = + − 2 2 1 1 . 1,5 3a Điều kiện: 0 1 0 x y     +  . Khi đó 3 1 5 2 2 1 3 1 3 x y x x y x y  + + = =        + + = + + =  0,25 1 1 2 x y  =    + =  0,25 1 1 1 4 3 x x y y  = =       + = =  (thoả điều kiện).
3b Điều kiện: x + 1 0 . (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 ( 1) 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + = + −  + + = +  + + + + = + + + + −  + + = + + − 0,25 ( ) 2 2  + + − + + + =  + + − =  + = − ( 1) 2 1 1 0 ( 1 1) 0 1 1 x x x x x x x x 2 2 1 1 0 1 0 0 1 (1 ) 3 0 3 x x x x x x x x x x      −         =    = + = − − =     =    ( thoả điều kiện (*) ). Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 0 . 0,25 Câu 4. Trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol ( ) 2 P y x : = − và đường thẳng (d y x m ): 3 3 1 = + − . Tìm tất cả các giá trị của m để (P) và (d ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 x x; thoả mãn 2 2 1 2 1 2 x x x x + + =10. 1,5 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 − = + −  + + − = x x m x x m 3 3 1 3 3 1 0 (1) để (P) và (d ) cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì điều kiện là phương trình (1) phải có hai 0,25 nghiệm phân biệt 1 2 x x; , hay ( ) 2 13 Δ 3 4 3 1 0 12 13 0 12 = − −   − +    m m m . 0,25 Khi đó, theo định lí Vi-ét ta có: ( ) 1 2 1 2 3 # 4 3 1 x x x x m  + = −    = − Theo đề, ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x x + + =  + − + = 10 2 10 0,25 Thay (2) và (3) vào (4) ta được: ( ) 2 ( 3) 2 3 1 3 1 10 3 1 6 1 − − − + − =  − = − m m m m 0,25