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PT Promo 2011/2012 Math ́ematiques R ́esum ́e du chapitre I : r ́evisions d’analyse Relations de comparaison Les fonctions intervenant ici sont d ́efinies (au moins) sur un voisinage de x0, qui est un nombre r ́eel ou ±∞. (1.1) Fonction n ́egligeable, pr ́epond ́erance. On dit que f est n ́egligeable devant φ au voisinage de x0 lorsque f(x) φ(x) → 0 lorsque x → x0, ce que l’on note f(x) = x→x0 o(φ(x)). On dit aussi que φ est pr ́epond ́erante devant f. (1.2) Fonctions ́equivalentes. Les fonctions f et g sont dites ́equivalentes au voisinage de x0 lorsque f(x) = x→x0 g(x) + o(g(x)). On note alors f(x) ∼ x→x0 g(x) 1 . (1.3) Fonctions ́equivalentes. f et g sont ́equivalentes au voisinage de x0 si et seulement si f(x) g(x) −→x→x0 1. (1.4) Dans le contexte 1.2 ou 1.3, si g(x) −→x→x0 l (r ́eel, complexe ou ±∞), alors f(x) −→x→x0 l. (1.5) Suites ́equivalentes. Deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N, r ́eelles ou complexes, sont ́equivalentes lorsque n −→ +∞ lorsque un = n→+∞ vn + o(vn) ce que l’on note un ∼ n→+∞ vn. Ceci se produit si et seulement si un vn −→n→+∞ 1. (1.6) Dans le contexte 1.5, si vn −→n→+∞ l (r ́eel, complexe ou ±∞), alors un −→n→+∞ l. Si la suite (vn) est born ́ee, alors la suite (un) l’est aussi. (1.7) Si la suite (un) converge vers le nombre fini et non nul l, alors un ∼ l lorsque n → +∞. Idem pour une fonction. (1.8) On ne peut pas ajouter membre `a membre des ́equivalences. (1.9) On peut multiplier membre `a membre des ́equivalences `a condition que le nombre de ces relations soit fini et invariable. (1.10) On cherchera donc un ́equivalent `a une fonction (ou `a une suite) se pr ́esentant comme quotient et produit de fonctions en recherchant un ́equivalent de chacun des facteurs et en les multipliant. (1.11) On ne peut pas composer une ́equivalence par une fonction. Si on soup ̧conne qu’on obtientrait une ́equivalence par composition, il faudra le d ́emontrer en utilisant 1.3. 1. On peut utiliser cette caract ́erisation pour trouver un ́equivalent `a une somme, en ”jaugeant” chaque terme par rapport aux autres. D ́eveloppements limit ́es, croissance compar ́ee (2.1) D ́eveloppements limit ́es usuels. Au voisinage de 0 et pour pout entier n : • e x = 1 + x + x 2 2! + . . . + x n n! + o(x n) • sin x = x − x 3 3! + . . . + (−1)nx 2n+1 (2n+1)! + o(x 2n+1) • cos x = 1 − x 2 2! + . . . + (−1)nx 2n (2n)! + o(x 2n) • sh x = x + x 3 3! + . . . + x 2n+1 (2n+1)! + o(x 2n+1) • ch x = 1 + x 2 2! + . . . + x 2n (2n)! + o(x 2n) • ln(1 + x) = x − x 2 2 + . . . + (−1)n+1x n n + o(x n) • (1 + x) α = 1 + αx + α(α−1) 2! x 2 + . . . + α(α−1)...(α−n+1) n! x n + o(x n) (2.2) Equivalents classiques. ́ sin x ∼ x→0 x ln(1 + x) ∼ x→0 x e x − 1 ∼ x→0 x sh x ∼ x→0 x arctan x ∼ x→0 x ln x ∼ x→1 x − 1 et en cas de limite non nulle : e x ∼ x→0 1 cos x ∼ x→0 1 (2.3) Formule de Taylor-Young. Soit f : I → C une fonction de classe C n sur l’intervalle I et a un point de I. • Lorsque x → a : f(x) = Xn k=0 (x − a) k k! f (k) (a) + o ((x − a) n ). • En particulier, soit f une fonction de classe C n sur un voisinage de 0. Alors f admet le d ́eveloppement limit ́e d’ordre n au voisinage de 0 : f(x) = x→0 a0 + a1x + . . . + anx n + o(x n ) avec ak = f (k) (0) k! pour tout k. 1
(2.4) Croissance compar ́ee. On se donne des constantes α et β strictement positives. • (ln x) α = o x β lorsque x → +∞ • x α = o e βx lorsque x → +∞ • ∀a > 1, xα = o (a x ) lorsque x → +∞ • e −βx = o 1 xα lorsque x → +∞ • ∀a < 1, ax = o 1 xβ lorsque x → +∞ • |ln x| α = o 1 xβ lorsque x → 0 + • n α = o (n!) lorsque n → +∞ • pour tout a > 1, an = o (n!) lorsque n → +∞. Limites, continuit ́e (3.1) D ́efinition formelle d’une limite nulle en +∞. La fonction f tend vers 0 lorsque x → +∞ lorsqu’`a chaque fois qu’on se donne un nombre ε > 0, il existe un rang X tel que pour tout x ≥ X on ait |f(x)| ≤ ε. Il faut bien prendre garde que ne peut prendre que des valeurs num ́eriques et ne peut ˆetre en aucun cas une fonction de la variable x. (3.2) Utilisation typique. Montrer qu’il existe un rang X > 0 tel que ln x ≤ √ x pour tout x ≥ X. R ́eponse : on sait que ln x √ x −→x→+∞ 0. Il existe alors, en prenant ε = 1 dans 2.3, un rang X > 0 tel que ln √x x ≤ 1 pour tout x ≥ X, d’o`u le r ́esultat. (3.3) Continuit ́e. On dit que f est continue en x0 quand f(x) → f(x0) lorsque x → x0. Le recours `a cette d ́efinition formelle est n ́ecessaire pour ́etudier la continuit ́e d’une fonction de la forme f : x 7→ ( expression si x 6= x0 valeur si x = x0. (3.4) On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point de I. Tout produit, somme, quotient (lorsqu’il est d ́efini) et compos ́ee de fonctions continues est une fonction continue. (3.5) Si φ est une fonction continue en un point a et (an) est une suite qui converge vers a, alors la suite (φ(an)) converge vers φ(a). (3.6) Ceci permet de justifier rigoureusement de nombreuses existences de limites, ou d’ ́equivalents. Par exemple, si un ∼ n→+∞ vn, alors |un| α ∼ n→+∞ |vn| α car un vn −→n→+∞ 1 et alors |un| α |vn| α = un vn α −→n→+∞ |1| α , c’est `a dire 1, par continuit ́e de la fonction φ : t 7→ |t| α en 1. (3.7) Fonction continue sur un segment. Soit f une fonction continue sur un segment I = [a, b]. • f(I) est un segment. • f est born ́ee sur I et atteint ses bornes : il existe deux r ́eels x1 et x2 de I tels que f(x1) = inf I f, f(x2) = sup I f. (3.8) Th ́eor`eme de la limite monotone. Toute suite croissante major ́ee est convergente. Toute suite d ́ecroissante minor ́ee est convergente. Toute suite croissante non major ́ee tend vers ∞; toute suite d ́ecroissante non minor ́ee tend vers −∞. Toute fonction croissante poss`ede, en tout point, une limite `a gauche ; celle-ci est finie si et seulement si la fonction est major ́ee ; etc. (3.9) Fonctions r ́eciproques. Soit I un intervalle et f : I → R une application continue, strictement monotone sur I. • Alors J = f(I) est un intervalle de mˆeme nature que I (ouvert, ferm ́e, semi-ouvert). • f r ́ealise une bijection de I sur J et f −1 : J → I est continue et de mˆeme sens de monotonie que f. • Si I = [a, b] et f est croissante (resp. d ́ecroissante), alors J = [f(a), f(b)] (resp. [f(b), f(a)]). • Si I =]a, b], alors J =] limx→a f(x), f(b)], . . . • Le graphe de f −1 s’obtient par sym ́etrie du graphe de f par rapport `a la premi`ere bissectrice y = x. D ́erivabilit ́e (4.1) D ́erivabilit ́e : d ́efinition formelle. Une fonction f est d ́erivable en un point a lorsque le taux d’accroissement f(x)−f(a) x−a poss`ede une limite finie lorsque x → a. Cette limite est not ́ee f 0 (a) : f 0 (a) = limx→a f(x) − f(a) x − a · Le recours `a cette d ́efinition formelle est n ́ecessaire pour ́etudier la d ́erivabilit ́e d’une fonction de la forme f : x 7→ ( expression si x 6= a valeur si x = a. (4.2) Th ́eor`eme de prolongement des fonctions de classe C 1 . Soit f une fonction d ́efinie et continue sur un intervalle [a, b], de classe C 1 sur [a, x0[∪]x0, b] et telle que f 0 (x) poss`ede une limite finie l lorsque x → x0. Alors f est de classe C 1 sur [a, b] et f 0 (x0) = l. (4.3) Th ́eor`eme de Rolle : soit f : [a, b] → R une fonction continue sur le segment [a, b], d ́erivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b). Alors il existe un point c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0. (4.4) Th ́eor`eme des accroissements finis : soit f : [a, b] → R une fonction continue sur le segment [a, b], d ́erivable sur ]a, b[. Alors il existe un point c ∈]a, b[ tel que f(b) − f(a) = (b − a)f 0 (c). (4.5) D ́erivation d’une fonction r ́eciproque. Soit f : I → R une application d ́efinie, d ́erivable et strictement monotone sur un intervalle I, r ́ealisant donc une bijection de I sur son image J = f(I) et g son application r ́eciproque. • Soit a ∈ I tel que f 0 (a) 6= 0 et b = f(a). Alors g est d ́erivable au point b et g 0 (b) = 1 f 0(a) · • En cons ́equence si f 0 ne s’annule pas sur I, alors g est d ́erivable sur J et pour tout y ∈ J, g 0 (y) = 1 f 0(g(y))· 2
(4.6) Formule de Leibniz. Si f et g sont deux fonctions n-fois d ́erivables sur I, alors le produit fg est n-fois d ́erivable sur I et (fg) (n) = Xn k=0 n k f (k) × g (n−k) . Fonctions usuelles (5.1) La fonction sin ́etablit une bijection de [− π 2 , π 2 ] sur [−1, 1]. Son application r ́eciproque arcsin est d ́efinie, continue et strictement croissante sur [−1, 1], de classe C∞ sur ] − 1, 1[ avec ∀x ∈] − 1, 1[, d dx(arcsin x) = 1 √ 1 − x 2 · (5.2) La fonction cos ́etablit une bijection de [0, π] sur [−1, 1]. Son application r ́eciproque arccos est d ́efinie, continue et strictement d ́ecroissante sur [−1, 1], de classe C∞ sur ] − 1, 1[ avec ∀x ∈] − 1, 1[, d dx(arccos x) = −1 √ 1 − x 2 · (5.3) La fonction tan ́etablit une bijection de ] − π 2 , π 2 [ sur R. Son application r ́eciproque arctan est d ́efinie, de classe C∞ et strictement croissante sur R avec ∀x ∈ R, d dx(arctan x) = 1 1 + x 2 · On a lim x→+∞ arctan x = π 2 et lim x→−∞ arctan x = − π 2 . (5.4) La fonction sh : x 7→ e x−e −x 2 ́etablit une bijection de R sur R. Son application r ́eciproque argsh est d ́efinie, continue, strictement croissante et de classe C∞ sur R avec ∀x ∈ R, d dx(argsh x) = 1 √ x 2 + 1 · ∀x ∈ R, argsh x = ln x + p x 2 + 1 (5.5) La fonction ch : x 7→ e x+e −x 2 ́etablit une bijection de [0, +∞[ sur [1, +∞[. Son application r ́eciproque argch est d ́efinie, continue et strictement croissante sur [1, +∞[ et de classe C∞ sur ]1, +∞[ avec ∀x ∈]1, +∞[, d dx(argch x) = 1 √ x 2 − 1 · ∀x ∈ [1, +∞[, argch x = ln x + p x 2 − 1 (5.6) La fonction th : x 7→ sh x ch x ́etablit une bijection de R sur ] − 1, 1[. Son application r ́eciproque argth est d ́efinie, continue, strictement croissante et de classe C∞ sur ] − 1, 1[ avec ∀x ∈] − 1, 1[, d dx(argth x) = 1 1 − x 2 · ∀x ∈ R, argth x = 1 2 ln 1 + x 1 − x Int ́egrales propres (6.1) Une fonction f : I = [a, b] → R ou C est dite continue par morceaux sur I si f est continue sur I sauf en un nombre fini de points en lesquels f poss`ede des limites finies `a gauche et `a droite. (6.2) Une fonction continue par morceaux sur un segment, en particulier une fonction continue, poss`ede une int ́egrale sur ce segment. Ceci permet de justifier la d ́efinition de certaines fonctions se pr ́esentant comme une int ́egrale d ́ependant d’un param`etre : si [a, b] est un segment et g : (x, t) 7→ g(x, t) est une fonction d ́efinie sur I×[a, b] (o`u I est un intervalle) telle que pour tout x ∈ I, l’application t 7→ g(x, t) soit continue sur le segment [a, b], alors l’application f : x 7→ Z b a g(x, t)dt est parfaitement d ́efinie sur I. (6.3) Passage `a la limite dans une int ́egrale : le passage `a la limite n’est pas autoris ́e. Pour montrer par exemple qu’une int ́egrale Z b a g(x, t)dt tend vers 0 lorsque x → +∞ on pourra chercher `a cr ́eer un contexte de th ́eor`eme des gendarmes, en majorant convenablement |g(x, t)| par une fonction dont l’int ́egrale est calculable et fournit un r ́esultat qui tend vers 0. (6.4) Th ́eor`eme fondamental : lien entre primitives et int ́egrales. Soit I un intervalle et f une fonction d ́efinie et continue sur I, `a valeurs r ́eelles complexes. • Soit a un point quelconque de I. Alors la fonction x 7→ Z x a f(t)dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a : si F(x) = Z x a f(t)dt alors F 0 (x) = f(x) • Pour toute primitive G de f sur I, tout a et tout x de I, Z x a f(t)dt = G(x) − G(a). • Si f est de classe C 1 sur I, alors pour tout a et tout x de I on a f(x) − f(a) = Z x a f 0 (t)dt. 3
Nombres complexes (7.1) Exponentielle complexe. Pour tout r ́eel θ, on note e iθ le nombre complexe cos θ + isin θ. Alors e iθ = 1 e iθ = e −iθ e i(θ+θ 0 ) = e iθ × e iθ0 e iθn = e inθ (cos θ + isin θ) n = cos nθ + isin nθ (de Moivre) cos θ = 1 2 (e iθ + e −iθ) sin θ = 1 2i (e iθ − e −iθ) (Euler) 1 + e iθ = e i θ 2 (e −i θ 2 + e i θ 2 ) = 2 cos θ 2 e i θ 2 1 − e iθ = e i θ 2 (e −i θ 2 − e i θ 2 ) = −2isin θ 2 e i θ 2 Pour tout nombre complexe z = x + iy, on note e z le nombre complexe e x × e iy : e z = e x+iy = e x × e iy = e x (cos y + isin y), e z+z 0 = e z e z 0 (7.2) Racines n-i`emes. Pour tout entier n ≥ 1, l’ ́equation z n = 1 poss`ede n racines distinctes, appel ́ees racines n-i`emes de l’unit ́e : ce sont les complexes ωk d ́efinis par ωk = e 2i kπ n avec k ∈ J1, nK (ou toute autre suite de n entiers cons ́ecutifs). Ces nombres sont situ ́es sur le cercle unit ́e et sont les sommets d’un polygˆone r ́egulier ; leur somme est nulle. (7.3) our tout nombre complexe Z 6= 0 et tout entier n ≥ 1, l’ ́equation z n = Z poss`ede n racines distinctes, appel ́ees racines n-i`emes de Z : ce sont les complexes zk d ́efinis par zk = |Z| 1 k e iθ0 n e 2i kπ n , o`u θ0 est un argument de Z et k ∈ J1, nK (ou toute autre suite de n entiers cons ́ecutifs). (7.4) Identit ́es remarquables. Pour tous nombres r ́eels ou complexes a et b : • a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) • a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) • a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2 b + . . . + abn−2 + b n−1 ) • Suites g ́eom ́etriques : 1 + a + a 2 + . . . + a n = 1 − a n+1 1 − a (a 6= 1) a p + a p+1 + . . . + a p+n = a p 1 − a n+1 1 − a (a 6= 1). • Suites arithm ́etiques : soit (un) la suite arithm ́etique de premier terme u0 et de raison r. Alors un = u0 + nr et u0 + u1 + . . . + un = (u0 + un)(n + 1) 2 . (7.5) In ́egalit ́es classiques. • Pour tout r ́eel t, |sin t| ≤ 1, |cost| ≤ 1 • Pour tout r ́eel t, |sin t| ≤ |t| • Pour tous r ́eels ou complexes x et y, |x + y| ≤ |x| + |y| , |x − y| ≤ |x| + |y| , ||x| − |y|| ≤ |x − y| . • In ́egalit ́e des accroissements finis : soit f : [a, b] → R ou C une fonction continue sur le segment [a, b], d ́erivable sur ]a, b[ et telle que |f 0 (x)| ≤ k pour tout x ∈]a, b[. Alors |f(b) − f(a)| ≤ k |b − a|. Dans ce cas, f est k-lipschitzienne. • In ́egalit ́e de la moyenne : soit f : [a, b] → C (a < b) une application continue par morceaux. Alors Z b a f(t)dt ≤ Z b a |f(t)| dt. Equations diff ́erentielles ́ (8.1) Equations diff ́erentielles lin ́eaires du premier ordre. ́ Soit a, b, f des fonctions d ́efinies et continues sur un intervalle I, `a valeurs r ́eelles ou complexes, la fonction a ne s’annulant pas sur I. • Les solutions de l’ ́equation diff ́erentielle (H) : a(x)y 0 + b(x)y = 0 sur l’intervalle I, sont les fonctions de la forme t 7→ y(t) = Ce−A(x) o`u C est une constante quelconque et A une primitive de b a sur I. • En notant y0(x) = e −A(x) , les solutions de l’ ́equation diff ́erentielle (E) : a(x)y 0+b(x)y = f(x) – sont de la forme y(x) = y1(x) + Cy0(x) si on dispose d’une solution particuli`ere y1 de (E), – peuvent s’obtenir en effectuant le changement de fonction inconnue y(x) = C(x)y0(x) (m ́ethode de variation de la constante) et alors C(x) = Z f(x) a(x)y0(x) dx. (8.2) Equations diff ́erentielles lin ́eaires du deuxi`eme ordre `a coefficients constants. ́ Les solutions de l’ ́equation diff ́erentielle (E) : ay00 + by0 + cy = 0, o`u a, b, c sont des nombres complexes avec a 6= 0, s’obtiennent en r ́esolvant l’ ́equation caract ́eristique (Ec) ar2 + br + c = 0. 4