Tiêu đề Chương 4_Bài 3_ _Toán 12_CD_Lời giải.pdf ✅

BÀI 3. TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN 1. Bài toán dẫn tới khái niệm tích phân Có nhiều bài toán thực tiễn dẫn tới khái niệm tích phân. Một trong những bài toán quan trọ̣ng nhất là tính diện tích của những "hình thang cong". Trong trường hợp tổng quát, cho hàm số y f x = ( ) liên tục, không âm trên đoạn a b ; . Hình phẳng gồm các điểm có toạ độ ( ; ) x y sao cho a x b £ £ và 0 ( ) £ £ y f x được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x = ( ) , trục Ox và hai đường thẳng x a = , x b = (Hình 6). Bằng cách chia đoạn a b ; thành n phần bằng nhau ta lập được tổng tích phân cấp n của hàm số y f x = ( ) trên đoạn a b ; là: 0 1 2 1 0 1 2 1         . n n n b a S T T T T f x f x f x f x n - - æ ö - = + + +1⁄4+ = × + + +1⁄4+ é ù ç ÷ ë û è ø Nhận xét: Người ta có thể chứng minh được rằng lim ( ) ( ) n n S F b F a ®+¥ = - với F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn a b ; . Hiệu F b F a ( ) ( ) - được gọi là diện tích hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x = ( ) , trục Ox và hai đường thẳng x a x b = = , . Cụ thể, ở Hình 6 , ta có: S F b F a hinh thang cong AMNB = - ( )   với F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn a b ;  Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm sốy = = + Î f x x x ( ) 1( [0;1]) . Xét hình thang vuông OMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x x ( ) 1 = + , trục Ox và hai đường thẳng x x = = 0, 1( Hình 7) a) Tính diện tích hình thang vuông OMNB. b) Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x x ( ) 1 = + trên đoạn 0;1. Tính F F (1) (0) - . Từ đó hãy chứng tỏ rằng hình thang vuông (1) (0) OMNB S F F = - . Lời giải
a) Ta có: hình thang vuông 1 ( ) 2 OMNB S OM BN OB = × + × 1 3 (1 2) 1 . 2 2 = × + × = b) Ta có: 2 ( 1)d d 1 d . 2 x x x x x x x C + = + = + + ò ò ò Như vậy 2 ( ) 2 x F x x = + là một nguyên hàm của hàm số f x x ( ) 1 = + trên đoạn 0;1 Ta có: 2 2 1 0 3 (1) (0) 1 0 . 2 2 2 F F æ ö æ ö - = + - + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø Vậy hình thang vuông (1) (0) OMNB S F F = - . 2. Định nghĩa tích phân Cho f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn a ;b . Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên đoạn a ;b Hiệu số F b F a ( ) ( ) - được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ) , kí hiệu là ( )d b a f x x ò . Chú ý - Kí hiệu ( ) ( ) ( ) b a F x F b F a = - và đọc là F x( ) thế cận từ a đến b . Vậy ( )d ( ) ( ) ( ) b b a a f x x F x F b F a = = - ò . Gọi: b aò là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f x x ( )d là biểu thức dưới dấu tích phân và f x( ) là hàm số dưới dấu tích phân. - Ta quy ước: ( )d 0; ( )d ( )d a b a a a b f x x f x x f x x = = - ò ò ò . Ví dụ 2. Tính: a) 3 2 6 dx x ò b) 1 0 t e dt ò Lời giải a)   3 3 2 2 2 2 2 6 d 3 3 3 2 3(9 4) 15 x x x = = - = - = ò . b) 1 1 1 0 0 0 d 1 t t e t e e e e = = - = - ò . Chú ý: Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận $a, b$ mà không phụ thuộc vào biến số x hay t , nghĩa là ( )d ( )d b b a a f x x f t t = ò ò . II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Tính chất 1. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, ta có: ( )d ( )d b b a a k f x x k f x x = ò ò ( k là hằng số).
Ví dụ 3. Cho 2 0 cos d 1 x x p = ò . Tính 2 0 2cos dx x p ò . Lời giải 2 2 0 0 2cos 2 cos 2 1 2. xdx xdx p p = = × = ò ò Tính chất 2. Cho f x g x ( ), ( ) là các hàm số liên tục trên đoạn a ;b. Khi đó, ta có     d b a é ù f x g x x + òë û  d   b b a a = + f x x g x dx ò ò ;     d b a é ù f x g x x - òë û   d d   b b a a = - f x x g x x ò ò ; Ví dụ 4. Tính   1 2 0 x x x + d ò . Lời giải Ta có:   1 1 1 1 1 3 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 5 d d d 0 0 3 2 3 2 6 x x x x x x x x x æ ö æ ö + = + = + = - + - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò ò ò . Tính chất 3. Cho hàm số y f x = ( ) liên tục trên đoạn a ;b. Giả sử c là số thực tuỳ ý thuộc đoạn a ;b. Khi đó, ta có: ( )d ( )d ( )d b c b a a c f x x f x x f x x = + ò ò ò Ví dụ 5. Tính 1 1 x xd -ò . Lời giải Ta có: 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 x x x x x x x x x x d d d ( )d d - - - = + = - + ò ò ò ò ò 0 1 2 2 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 2 2 2 2 x x - é ù æ ö æ ö = - + = - - + - = + = ê ú ç ÷ ç ÷ ë û è ø è ø . III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ SƠ CẤP 1. Tích phân của hàm số luỹ thừa Nhận xét: Với a 1 -1, ta có: 1 1 1 d 1 1 b b a a x b a x x a a a a a a + + + - = = + + ò . Ví dụ 6. Tính: a)   1 3 2 0 4 3 2 d x x x + - ò b) 4 1 1 d 2 x x ò ; c) 3 2 1 x x d ò . Lời giải a)   1 1 1 1 3 2 3 2 0 0 0 0 4 3 2 d 4 d 3 d 2 d x x x x x x x x + - = + - ò ò ò ò 1 1 1 4 3 0 0 0 = + - x x x2     4 4 3 3 = - + - - × - × = 1 0 1 0 (2 1 2 0) 0.b) 4 4 1 2 1 1 1 1 d d 2 2 x x x x - = ò ò
4 1 4 2 1 1 = = = - = x x 4 1 1. c) 3 3 2 1 2 1 2 1 1 3 1 d 2 1 2 1 x x x + + - = = + + ò . 2. Tích phân của hàm số 1 f x( ) x = Nhận xét: Với hàm số 1 f x( ) x = liên tục trên đoạn a ;b, ta có: 1 d ln ln ln . b b a a x x b a x = = - ò Ví dụ 7. Tính 1 2 d e x x - -ò . Lời giải 1 2 1 d 2ln 2ln 1 2ln 2. e e x x e x - - - - = = - - - = - ò 3. Tích phân của hàm số lượng giác Nhận xét sin d cos cos ( cos ) cos cos b b a a x x x b a a b = - = - - - = - ò . cos d sin sin sin b b a a x x x b a = = - ò . - Với hàm số 2 1 ( ) sin f x x = liên tục trên đoạn a ;b, ta có:   2 1 d cot cot cot cot cot . sin b b a a x x b a a b x = - = - - - = - ò - Với hàm số 2 1 ( ) cos f x x = liên tục trên đoạn a ;b, ta có: 2 1 d tan tan tan . cos b b a a x x b a x = = - ò Ví dụ 8. Tính: a) 4 0 (sin cos )d x x x p + ò ; b) 4 2 2 6 1 1 d sin cos x x x p pæ ö ç ÷ - è ø ò . Lời giải a) 4 4 4 4 4 0 0 0 0 0 (sin cos )d sin d cos d cos sin x x x x x x x x x p p p p p + = + = - + ò ò ò b) 4 4 4 2 2 2 2 6 6 6 1 1 1 1 d d d sin cos sin cos x x x x x x x p p p p p p æ ö ç ÷ - = - è ø ò ò ò 4 4 6 6 cot tan x x p p = - - p p cot cot tan tan 4 6 4 6 p p p p æ ö æ ö = - - - - - - ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 4 3 1 3 1 2 . 3 3 = - + - + = - + 4. Tích phân của hàm số mũ