Tiêu đề Chuong 3 - BĐT Chọn đội tuyển dự thi VMO - Năm học 2017 - 2018.doc ✅

Chương ba BĐT CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI VMO Năm học 2017 – 2018 Bài 158 (Đăk Lăk). Cho bất phương trình 20xabxab (1) trong đó 0ab . Gọi 12,,...,nxxx là các nghiệm của bất phương trình (1). Chứng minh rằng:   2 12 2222 12 ...4 ... n n xxxab nxxxab    . Bài 159 (Bà Rịa – Vũng Tàu). Cho ba số thực dương ,,abc sao cho 222 4abcabc . Chứng minh rằng: 1 222222 abc bccaab   . Bài 160 (Đồng Tháp). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng:  2222222abcbcacab bbccccaaaabb    . Bài 161 (THPT chuyên KHTN – Ngày 2). Với ,,abc là các số thực thỏa mãn 0abbcca . Chứng minh rằng:       222222222222 2220abacbcbacacb bccaab    . Bài 162 (THPT chuyên KHTN – Ngày 3). Với ,,abc là các số thực dương. Chứng minh rằng:  333 222222 99 22 abc bbccccaaaabbabbcca  . Bài 163 (Đăk Nông – Vòng 1). Cho ABC là tam giác nhọn. Đặt giá trị: sinsinBsinC sinsinsinCsinAsinAsinB A M BC  . Gọi M là số nguyên không vượt quá M . Tính M . Bài 164 (Đăk Nông – Vòng 2). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 222 4abcabc . Chứng minh rằng: abcabc . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 165 (Hà Tĩnh – ngày thứ 1). Với ,,abc là các số thực dương thỏa mãn 222 3abc .
Chứng minh rằng: 2222abcabcabcabbcca . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 166 (Quảng Ninh – Ngày thứ 1). Với ba số thực dương ,,abc có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 222222 222 2121216 abcabc abcabc    . Bài 167 (Nam Định – Ngày thứ 2). Xét ba số ,,0;1abc . Tìm GTLN của biểu thức: 111 111 abc Pabc bccaab  . Bài 168 (An Giang – Ngày thứ 1). Với hai số thực ,xy thỏa mãn 22421121122xyxyyy . Tìm GTNN của biểu thức xyx . Bài 169 (An Giang – Ngày thứ 2). Với ,,abc là các số thực thỏa mãn 2221abc Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: Pabcabbcca . Bài 170 (Phú Thọ – Ngày thứ 1). Cho 2n số thực dương 12,,...,naaa . Gọi a là số nhỏ nhất trong các số ia . Chứng minh rằng: 2221212 2 231 ... ...nnaaaaaaaaa n aaaa   . Bài 171 (Lâm Đồng). Với ba số thực dương ,,abc thỏa mãn 32123abc Tìm GTNN của biểu thức: 23 111 P abc . Bài 172 (Bắc Giang). Với ba số thực dương ,,abc thỏa mãn 3abbccaabc Chứng minh rằng: 22222232abbccaabbcca abbcca    Bài 173 (Cà Mau). Với các số thực ,ab thỏa mãn: 22 5ab , 30ab Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 112 5P abab  .
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Bài 158 (Đăk Lăk). Cho bất phương trình 20xabxab (1) trong đó 0ab . Gọi 12,,...,nxxx là các nghiệm của bất phương trình (1). Chứng minh rằng:   2 12 2222 12 ...4 ... n n xxxab nxxxab    . Lời giải. Trước tiên, ta có nhận xét các ix thỏa mãn (1) tương đương với ibxa BĐT cần chứng minh tương đương với: 2221212...2...nnabxxxabnxxx Vì ix thỏa mãn (1) nên ta có: 2221212......nnabxxxxxxnab Theo BĐT AM – GM, ta được: 2222221212...2...nnxxxnababnxxx Bài toán được chứng minh. Bài 159 (Bà Rịa – Vũng Tàu). Cho ba số thực dương ,,abc sao cho 222 4abcabc . Chứng minh rằng: 1 222222 abc bccaab   . Lời giải. Theo BĐT AM – GM, ta có:  2 422 aa bcbc  Tương tự cho hai số hạng còn lại. Vậy nên, ta cần chứng minh: 222 1 444 abc bccaab  Theo BĐT Cauchy dạng phân thức, ta có:   2 2222 44424 abcabc bccaababbccaabc    Vậy nên, ta cần chứng minh: 2224abcabbccaabc Theo giả thiết, ta có: 2222224abbccaabcabcabcabc Nên BĐT trên được viết lại là: 244abcabcabc Cách 1: Vì ,,abc thỏa mãn 2224abcabc nên tồn tại ba số thực dương ,,xyz sao cho: 1
2;2;2yzzxxyabc xyxzyzyxzxzy  BĐT cần chứng minh được viết lại là: 1yzzxxy xyxzyzyxzxzy   2xyz xyyzzx  xyxyyzyzzxzx 2xyyzzxxyz 2422 cyc xyzxxyxzxyzxyzxyyzzx  22 cyc xxyzxxyzxyyzzx  Hướng 1: (Sử dụng bổ đề quen thuộc) BĐT cần chứng minh là: ...xyyzyzzxzxxy zxxyyz   22..yzzxxy xyz   22..xyzxyz yzzxxyyzzxxy  Không mất tính tổng quát, ta giả sử z là số nhỏ nhất trong ba số ,,xyz . Khi đó, ta có kết quả sau: 2 2 xyxy yzzxxyz    Thật vậy, theo BĐT Holder ta có:  2 3 22xy xyzyzxxy yzzx      Vì z là số nhỏ nhất trong ba số nên ta được: 2222xyzyzxxyxyzzxy    22 2 22 44 xyxy xyzzxyxyz  Vậy nên, ta có:   3 22 xyxy yzzxxyzyzx    1 Lý do vì sao có phép biến đổi như vậy mời bạn đọc xem phần bổ sung kiến thức.