Tiêu đề Chương 4_Bài 1&2_ _Toán 12_CD_Lời giải_Phần 1.pdf ✅

CHƯƠNG IV. NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BÀI 1: NGUYÊN HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM Với K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ¡ , ta có định nghĩa sau: Cho hàm số f x( ) xác định trên K . Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x f x ¢( ) ( ) = với mọi x thuộc K . Ví dụ 1. Hãy giải thích vì sao ta có các kết luận sau: a) Hàm số 5 ( ) 5 x F x = là nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) = trên ¡ ; b) Hàm số F x x ( ) sin = là nguyên hàm của hàm số f x x ( ) cos = trên ¡ . Lời giải a) Hàm số 5 ( ) 5 x F x = là nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) = trên ¡ vì 5 4 5 x x ¢ æ ö ç ÷ = è ø với mọi xΡ . b) Hàm số F x x ( ) sin = là nguyên hàm của hàm số f x x ( ) cos = trên ¡ vì (sin ) cos x x ¢ = với mọi xΡ . Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ¡ . Giả sử hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K . Khi đó: a) Với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C ( ) ( ) = + cũng là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K . b) Ngược lại, với mỗi nguyên hàm H x( ) của hàm số f x( ) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho H x F x C ( ) ( ) = + với mọi x thuộc K . Ví dụ 2. Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) 5 = trên ¡ . Lời giải Do   5 4 x x5 ¢ = nên 5 x là một nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) 5 = trên ¡ . Vậy mọi nguyên hàm của hàm số 4 f x x ( ) 5 = đều có dạng 5 x C+ , với C là một hằng số. Ta có: Họ (hay tập hợp) tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K được kí hiệu là f x x ( )d . ò Nhận xét: - Ta có: F x x F x C ¢( )d ( ) . = + ò - Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K đều có dạng F x C ( ) + với C là một hằng số. Vì vậy f x x F x C ( )d ( ) . = + ò - Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Chú ý: Biểu thức f x x ( )d gọi là vi phân của nguyên hàm F x( ), kí hiệu là d ( ) F x . Vậy d ( ) ( )d ( )d F x F x x f x x = = ¢ Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng:
a) k dx=kx+C ò với k là hằng số thực; b) 2 d 2 k kx x x C = + ò với k là hằng số thực khác không. Lời giải a) Do ( ) kx k ¢ = nên kx là một nguyên hàm của hàm số f x k ( ) = trên ¡ . Vậy k x kx C d = + ò . b) Do 2 2 k x kx ¢ æ ö ç ÷ = è ø nên 2 2 k x là một nguyên hàm của hàm số f x kx ( ) = trên ¡ . Vậy 2 d ( 0) 2 k kx x x C k = + 1 ò . Nhận xét: 0 dx C= ò và dx x C = + ò . II. TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ¡ . Tính chất 1: k f x x k f x x ( )d ( )d = ò ò với k là hằng số khác 0 . Ví dụ 4. Cho n là số nguyên dương. a) Chứng tỏ rằng 1 d 1 n n x x x C n + = + + ò . b) Cho k là hằng số thực khác không. Tính dn kx x ò . Lời giải a) Do 1 1 n x n x n + ¢ æ ö ç ÷ = è ø + nên 1 1 n x n ++ là một nguyên hàm của hàm số ( ) n f x x = trên ¡ . Vậy 1 d 1 n n x x x C n + = + + ò . b) Ta có: 1 d d 1 n n n kx kx x k x x C n + = = + + ò ò . Tính chất 2 é ù f x g x x f x x g x x   + = +   d d d     ò ò ò ë û . é ù f x g x x f x x g x x   - = -   d d d     ò ò ò ë û . Ví dụ 5. Tìm (2 5)d x x + ò . Lời giải Ta có: 2 (2 5)d 2 d 5 d 5 x x x x x x x C + = + = + + ò ò ò . Ví dụ 6. Một quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m với vận tốc được tính bởi công thức v t t ( ) 9,8 19,6( m / s) = - + . a) Viết công thức tính độ cao của quả bóng theo thời gian t . b) Sau bao nhiêu lâu kể từ khi ném lên thì quả bóng chạm đất? Lời giải a) Gọi h t( ) là độ cao của quả bóng tại thời điểm t ( h t tính theo mét, t tính theo giây).
Khi đó, ta có: 2 h t t t t t C ( ) ( 9,8 19,6)d 4,9 19,6 . = - + = - + + ò Mà quả bóng được ném lên từ độ cao 24,5 m tức là tại thời điểm t = 0 thì h = 24,5 hay h(0) 24,5 = . Suy ra C = 24,5 . Vậy công thức tính độ cao h t( ) của quả bóng theo thời gian t là: 2 h t t t ( ) 4,9 19,6 24,5. = - + + b) Khi quả bóng chạm đất thì h t( ) 0 = . Ta có: 2 - + + = 4,9 19,6 24,5 0 t t . Giải phương trình ta được t t = - = 1; 5 . Mà t > 0 nên t = 5 . Vậy sau 5 giây kể từ khi được ném lên thì quả bóng chạm đất. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 1. Hàm số 3 F x x ( ) 5 = + là nguyên hàm của hàm số: A. 2 f x x ( ) 3 = . B. 4 ( ) 5 4 x f x x C = + + . C. 4 ( ) 5 4 x f x x = + . D. 2 f x x x ( ) 3 5 = + . Lời giải Chọn A Ta có   3 2 F x x x ( ) 5 3 ¢ = + = nên F x( )là một nguyên hàm của hàm số 2 f x x ( ) 3 . = 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 f x x x ( ) 3 = + ; b) 2 f x x x ( ) 9 2 7 = - + ; c)   2 f x x x x ( ) (4 3) 3 d = - + ò . Lời giải a)   2 2 2 3 ( ) 3 3 2 x f x dx x x dx x dx xdx x C = + = + = + + ò ò ò ò . b)   2 f x dx x x dx ( ) 9 2 7 = - + ò ò 2 3 2 = - + = - + + 9 2 7 3 7 x dx xdx dx x x x C ò ò ò c) Ta có   2 3 2 f x x x x x x ( ) (4 3) 3 4 3 12 9 = - + = - + - .   3 2 f x dx x x x dx ( ) 4 3 12 9 = - + - ò ò 3 2 = - + - 4 3 12 9 x dx x dx xdx dx ò ò ò ò 4 3 2 = - + - + x x x x C 6 9 3. Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số 5 f x x x ( ) 6 2 3 = + - , biết F( 1) 5 - = - . Lời giải Ta có   5 5 6 2 f x dx x x dx x dx xdx dx x ( ) 6 2 3 6 2 3 x = + - = + - = + - ò ò ò ò ò 3x C+ . Vì F( 1) 5 - = - nên 6 2 ( 1) ( 1) 3 ( 1) 5 - + - - × - + = - C , suy ra C = -10 . Vậy 6 2 F x x x x ( ) 3 10 = + - - . 4. Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h t t ¢( ) 1,5 5 = + , trong đó h t( )(cm) là chiều cao của cây khi kết thúc t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Cây con khi được trồng cao 12 cm .
a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm. b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét? Lời giải a) Công thức chiều cao h t( ) của cây sau t năm là một nguyên hàm của hàm số h t ¢( ) . Ta có     2 h t dt t dt tdt dt t t C ¢ = + = + = + + 1,5 5 1,5 5 0,75 5 ò ò ò ò . Suy ra 2 h t t t C ( ) 0,75 5 = + + . Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên h(0) 12 = . Do đó 2 0,75 0 5 0 12 × + × + = C , suy ra C =12 . Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là 2 h t t t ( ) 0,75 5 12 = + + . b) Khi cây được bán, tức là t = 6 , ta có 2 h(6) 0,75 6 5 6 12 69 = × + × + = . Vậy khi được bán, cây cao 69 cm . 5. Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổii lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số   3 2 B t t t t ¢ = - + 20 300 1000 , trong đó t tính bằng giờ (0 15), £ £t B t ¢  tính bằng khách/giờ. (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016). Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội. a) Viết công thức của hàm số B t( ) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 15 £ £t . b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội? c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu? d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất? Lời giải a) Hàm số B(t) là một nguyên hàm của hàm số B¢t . Ta có     3 2 B t dt t t t dt ¢ = - + 20 300 1000 ò ò 3 2 = - + 20 300 1000 t dt t dt tdt ò ò ò Suy ra 4 3 2 B t t t t C ( ) 5 100 500 = - + + . Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên B(1) 500 = . Do đó, 4 3 2 5 1 100 1 500 1 500 × - × + × + = C , suy ra C = 95 . Vậy công thức của hàm số B t( ) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là 4 3 2 B t t t t t ( ) 5 100 500 95(0 15). = - + + £ £ b) Ta có 4 3 2 B(3) 5 3 100 3 500 3 95 2300 = × - × + × + = . Vậy sau 3 giờ có 2300 khách tham dự lễ hội. c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B(t) trên đoạn 0;15 Ta có   3 2 B t ¢ = - + 20t 300t 1000t . Trên khoảng (0;15), 0 B t ¢  = khi t 5 = hoặc t 10 = . B B B B (0) 95; (5) 3220; (10) 95; (15) 28220. = = = = Do đó, [0;15] max ( ) 28220 B t = tại t 15 = . Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ. d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B t( ) trên đoạn 0;15