Tiêu đề CHƯƠNG I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - PHẦN 3.doc ✅

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình    3 22 23 2xy 2xyxyxy10xy xy x10x1y1334xy3          x,yℝ Phân tích : Với hệ này, phương trình thứ hai chứa hai căn bậc lệch, các đại lượng không có mối liên quan gì để ta khai thác. Phương trình thứ nhất có tính đối xứng với hai biến x,y . Nhưng nếu ta tinh ý, phương trình này không những có tính đối xứng mà nó còn là phương trình đẳng cấp bậc ba với đại lượng xy,xy . Thật vậy, ta có phương trình thứ nhất được biến đổi thành phương trình :  3222xy2xyxyxy10xy xy     3 22xy 2xyxyxy6xy0 xy  1 . Để cho tiện trong việc khai triển ta đặt axy,bxy . Khi đó 1 trở thành: 3 2232232a 2aab6b02a2abab6b0 b 22a2b2a2ab3b0a2b 2xy2xyxy0xy . Vậy xem nút thắt của bài toán đã được gỡ. Và giờ chúng ta đi giải quyết hệ. Lời giải : Điều kiện : 2 xy0 x10x1y10      . Phương trình thứ nhất được biến đổi thành phương trình :  3222xy2xyxyxy10xy xy  
  2 22xy 2xyxyxy6xy0 xy  1 Đặt axy ,b0 bxy      . Khi đó phương trình 1 trở thành :  3 22 322322 2a 2aab6b0 b 2a2abab6b0a2b2a2ab3b0   2a2b0a2bxy2xyxy0xy vì 222a2ab3b0 . Thay xy vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình : 33 10x135x393310x1335x320 , 3 1 x 10       3 323 3 10x15x1 30 10x135x325x34       2 323 3 T 10xx1 15 x10 10x135x325x34         x10x1y1 vì với 3 1 xT0 10 . Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của hệ là : x,y1;1 . Bình luận: Bài toán thể hiện tính đối xứng thông qua định dạng phương trình đẳng cấp. Ở phương trình khi thay thế xy thì ngoài cách giải liên hiệp như trong lời, chúng ta có thể sử dụng hàm số để giải quyết. Ví dụ 7: Giải hệ phương trình  22 2 3 2xyxyxy xy xy22 3x2y22xy122xxy113           x,yℝ Phân tích: Rõ ràng từ hệ này ta không thể công phá gì được phương trình thứ hai trong hệ, còn phương trình thứ nhất trong hệ ta dễ nhận thấy
phương trình này đối xứng với hai biến x,y nên ta có thể bắt nhân tử chung phương trình này. Ở phương trình thứ nhất trong hệ nếu ta để ý sẽ thấy các cặp đại lượng sau ghép lại ta sẽ được hằng đẳng thức. Thật vậy ta có :      22 2 22 xy4xyxy2xyxy xy22xy2xy xyxy xy 22          . Do đó ta sẽ tách phương trình thứ nhất để quy đồng và liên hiệp như sau :   2222 22 xyxy2xyxyxy xy00 xy222xy xy 2xy 2          2 22 22 xy 11 xy0 xy xyxyxy xy xy2 2             Với phương trình  ta nhận thấy nếu xy thì  luôn đúng. Do đó ta tách  như sau : 2222xyxyxy2xyxyxy2xy 2      2 2 22 2222 xyxy xyxy10 2xyxy2xyxy          2 22 22 xy xy xyxy 12xy2xy 2xyxy         . Vậy xem như nút thắt của bài toán đã được gỡ và xem như hệ đã được giải quyết. Lời giải : Điều kiện : xy0 2xy10 xy0       .
Phương trình thứ nhất trong hệ được biến đổi thành phương trình :   2222 22 xyxy2xyxyxy xy xy22xy xy xy 2       2222 22 xy xy xy xy 2xyxyxy2xy 2xyxy           222 2 22 xy xy xy 2xy2xy xy2xyxy              222 xyxy xy 2xyxyxy0     . Thay xy vào phương trình thứ hai trong hệ ta được phương trình : 33x2x122x13x2x12x12x1 1 . Đặt 2 3 3 a0 ax1 xa1 b2x1 2xb1         . Khi đó phương trình 1 trở thành : 2322a1abbabaabb10 ab vì 22aabb10   3 32 2 1 x2x10 2x12x1 x12x1 xxx10        