Tiêu đề PHAN A. LY THUYET.docx ✅

1 PHẦN A. LÝ THUYẾT I. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN Ta có công thức sau (gọi là công thúc xác suất toàn phần): Cho hai biến cố ,AB với 0()1PB , ta có: ()()()().(|)().(|).PAPABPABPBPABPBPAB Ví dụ 1: Theo một số liệu thống kê, năm 2004 ở Canada có 65% nam giối là thừa cân và 53,4% nữ giối là thừa cân. Nam giới và nữ giới ở Canada đều chiếm 50% dân số cả nước. Hỏi rằng, trong năm 2004, xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng bao nhiêu? Giải Xét hai biến cố sau: A: "Người được chọn ra là người thừa cân"; B : "Người được chọn ra là nam giới” (biến cố B : "Người được chọn ra là nữ giới”). Từ giả thiết ta có: ()()50%0,5;(|)65%0,65;(|)53,4%0,534.PBPBPABPAB Theo công thức xác suất toàn phần, ta có: ()()(|)()(|)0,50,650,50,5340,592.PAPBPABPBPAB Vậy xác suất để một người Canada được chọn ngẫu nhiên là người thừa cân bằng 0,592. Nói cách khác, tỉ lệ người Canada thừa cân là 59,2%. Ví dụ 2: Một hộp có 60 viên bi màu xanh và 40 viên bi màu đỏ; các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Sau khi thống kê, người ta thấy: có 50% số viên bi màu xanh có dán nhãn và 75% số viên bi màu đỏ có dán nhãn; những viên bi còn lại không dán nhãn. a) Chọn số thích hợp cho? trong Bảng (đơn vị: viên bi). b) Lấy ra ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Sử dụng công thức xác suất toàn phần, tính xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn. Giải a) Số viên bi màu đỏ có dán nhãn là: 75% . 4030 (viên bi). Số viên bi màu xanh có dán nhãn là: 50%.6030 (viên bi).
2 b) Xét hai biến cố sau: A: "Viên bi được chọn ra có dán nhãn"; B: "Viên bi được chọn ra có màu đỏ". Khi đó, ta có: 40223 ();()1()1 100555 303301 (|);(|). 404602 PBPBPB PABPAB   Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: 23313 ()()(|)()(|). 54525PAPBPABPBPAB Vậy xác suất để viên bi được lấy ra có dán nhãn bằng 3 5 . Ví dụ 3: Trong trò chơi hái hoa có thưởng của lớp 12A, cô giáo treo 10 bông hoa trên cành cây, trong đó có 5 bông hoa chứa phiếu có thưởng. Bạn Bình hái bông hoa đầu tiên, sau đó bạn An hái bông hoa thứ hai. a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên. b) Từ đó, tính xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng. Giải Xét hai biến cố: A: "Bông hoa bạn An hái được chứa phiếu có thưởng"; B: "Bông hoa bạn Bình hái được chứa phiếu có thưởng". Khi đó, ta có: 511145 (),()1()1,(|),(|). 1022299PBPBPBPABPAB a) Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho là:
3 b) Áp dụng công thức xác suất toàn phẩn, ta có: 14151 ()()(|)()(|). 29292PAPBPABPBPAB Vậy xác suất bạn An hái được bông hoa chứa phiếu có thưởng bằng 1 2 . II. CÔNG THỨC BAYES Ta có công thức sau (gọi là công thức Bayes): Với hai biến cố ,AB mà ()0,()0PAPB , ta có: ()(|) (|) () PBPAB PBA PA   . Nhận xét: Cho hai biến cố ,AB với ()0,0()1PAPB . Do ()()(|)()(|)PAPBPABPBPAB nên công thức Bayes còn có dạng: ()(|) (|) ()(|)()(|) PBPAB PBA PBPABPBPAB    . Ví dụ 4: Cho hai biến cố ,AB sao cho ()0,6PA ; ()0,4;(|)0,3PBPAB . Tính (|)PBA . Giải Áp dụng công thức Bayes, ta có: ()(|)0,40,3 (|)0,2. ()0,6 PBPAB PBA PA   Ví dụ 5: Giả sử có một loại bệnh mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,1% . Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính giả là 5% (tức là trong số những người không bị bệnh có 5% số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). a) Vẽ sơ đồ hình cây biểu thị tình huống trên. b) Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh của người đó là bao nhiêu phẩn trăm (làm tròn kết quả đến hàng phẩn trăm)? Giải a) Xét hai biến cố: K : "Người được chọn ra không mắc bệnh"; D : "Người được chọn ra có phản ứng dương tính".
4 Do tỉ lệ người mắc bệnh là 0,1%0,001 nên ()10,0010,999PK . Trong số những người không mắc bệnh có 5% số người có phản ứng dương tính nên (|)5%0,05PDK . Vì ai mắc bệnh khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính nên (|)1PDK . Sơ đồ hình cây ở Hình biểu thị tình huống đã cho. b) Ta thấy: Khả năng mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính chính là (|)PKD . Áp dụng công thức Bayes, ta có: ()(|)0,001 (|)1,96%. ()(|)()(|)0,0010,9990,05 PKPDK PKD PKPDKPKPDK    Vậy xác suất mắc bệnh của một người xét nghiệm có phản ứng dương tính là 1,96% .