Tiêu đề Giải đề GT2 GK 223.pdf ✅

Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG GIẢI ĐỀ GIỮA KỲ HK223 Fanpage: GIẢI TÍCH HCMUT Link: https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Biên soạn: ĐẶNG TIẾN QUANG Cho hàm số f(x, y) = 10 ln(x 2 + y 2 − 2x + 2y) . Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 1 đến Câu 3. Câu 1. (L.O.1) Tìm điểm không thuộc miền xác định của hàm. A. (3, −1) B. (2, 1) C. (1, −1) D. (0, 1) E. (3, 0) Lời giải. Điều kiện xác định của hàm f(x, y): ( x 2 + y 2 − 2x + 2y > 0 x 2 + y 2 − 2x + 2y ̸= 1 ⇔ ( (x − 1)2 + (y + 1)2 > 2 (x − 1)2 + (y + 1)2 ̸= 3 ⇒ lấy miền nằm ngoài đường tròn (x − 1)2 + (y + 1)2 = 2 bỏ đi đường tròn (x − 1)2 + (y + 1)2 = 3 Chọn đáp án C □ Câu 2. (L.O.1) Đường mức f(x, y) = 5 là: A. Đường tròn tâm I(1, 1) bán kính R = √ e 2 + 2 B. Đường tròn tâm I(1, 1) bán kính R = e C. Đường tròn tâm I(1, −1) bán kính R = √ e 2 + 2 D. Đường tròn tâm I(1, −1) bán kính R = e E. Đường tròn tâm I(1, −1) bán kính R = √ e 2 + 1 Lời giải. f(x, y) = 5 ⇔ 10 ln(x 2 + y 2 − 2x + 2y) = 5 ⇒ ln(x 2 + y 2 − 2x + 2y) = 2 ⇒ x 2 + y 2 − 2x + 2y = e2 ⇒ (x − 1)2 + (y + 1)2 = e2 + 2 ⇔ (x − a) 2 + (y − b) 2 = R2 Chọn đáp án C □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 1
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 3. (L.O.1) Giá trị của fy(0, 1) là: A. − 40 3 ln2 3 B. Một đáp án khác C. − 20 3 ln2 3 D. − 40 3 ln 3 E. − 20 3 ln 3 Lời giải. Xét g(y) = f(0, y) = 10 ln(y 2 + 2y) ⇒ fy(0, 1) = g ′ (1) g ′ (y) = − 10 ln(y 2 + 2y) 2 . 1 y 2 + 2y .(2y + 2) ⇒ g ′ (1) = − 40 3 ln2 3 Lưu ý: Đối với dạng toán tính giá trị của đạo hàm, em có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính Chọn đáp án A □ Cho bản đồ đường mức của hàm f(x, y) với 3 điểm A, B, C trên bản đồ và cho 2 vector u = ⟨1, −1⟩, v = ⟨−1, 1⟩. Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 4 đến Câu 6. Câu 4. (L.O.1) Tìm câu trả lời đúng khi tính f(A) + f(B) − f(C) A. −4 B. 24 C. 6 D. −6 E. 0 Lời giải. Điểm A thuộc đường mức có giá trị bằng −2 ⇒ f(A) = −2 Tương tự, f(B) = 12, f(C) = 14 ⇒ f(A) + f(B) − f(C) = −2 + 12 − 14 = −4 Chọn đáp án A □ Câu 5. (L.O.1) Tìm khẳng định đúng: A. ∂f ∂x(A) < 0 B. Các câu khác sai C. ∂f ∂x(B) < 0 D. ∂f ∂y (C) > 0 E. ∂f ∂y (B) > 0 Lời giải. Tại A: đi theo hướng // với trục Ox theo chiều tăng của x, ta thấy giá trị của đường mức tăng từ −2 lên 0 ⇒ f tăng ⇒ ∂f ∂x(A) > 0 ⇒ Đáp án A sai. Tại B: đi theo hướng // với trục Ox theo chiều tăng của x, ta thấy giá trị của đường mức tăng từ 12 lên 14 ⇒ f tăng ⇒ ∂f ∂x(B) > 0 ⇒ Đáp án C sai. Tại B: đi theo hướng // với trục Oy theo chiều tăng của y, ta thấy giá trị của đường mức giảm từ 12 xuống 10 ⇒ f giảm ⇒ ∂f ∂y (B) < 0 ⇒ Đáp án E sai. Tại C: đi theo hướng // với trục Oy theo chiều tăng của y, ta thấy giá trị của đường mức giảm từ 14 xuống 12 ⇒ f giảm ⇒ ∂f ∂y (C) < 0 ⇒ Đáp án D sai. Chọn đáp án B □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 2
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG Câu 6. (L.O.1) Tìm khẳng định đúng: A. Các câu khác sai B. ∂f ∂v (B) > 0 C. ∂f ∂u (A) < 0 D. ∂f ∂u (B) > 0 E. ∂f ∂v (C) > 0 Lời giải. Tại B: đi theo hướng vector u, ta thấy giá trị của đường mức tăng từ 12 lên 14 ⇒ f tăng ⇒ ∂f ∂u (B) > 0 Chọn đáp án D □ Sức cản của máu chảy qua động mạch có bán kính r và chiều dài L (cùng tính bằng centimet) được tính bởi R(r, L) = 0.08Lr−4 . Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 7 đến Câu 8. Câu 7. (L.O.2) Tốc độ thay đổi sức cản của máu chảy qua động mạch theo bán kính r khi động mạch có bán kính là 0.47 cm và chiều dài động mạch là 4.1 cm là (bỏ qua đơn vị tính): A. −12.6369 B. 3.4884 C. 1.6395 D. Các câu khác sai E. −57.2064 Lời giải. Tốc độ thay đổi là đạo hàm Sức cản của máu chảy qua động mạch là R Tốc độ thay đổi sức cản của máu chảy qua động mạch là đạo hàm của R Tốc độ thay đổi sức cản của máu chảy qua động mạch theo bán kính r là Rr = R′ r = 0.08L.(−4)r −5 ⇒ Ans = Rr(0.47, 4.1) = −57.20639037 ≈ −57.2064 Chọn đáp án E □ Câu 8. (L.O.2) Dùng vi phân để ước tính sự thay đổi sức cản của máu chảy qua đoạn động mạch như trong Câu 7 sang đoạn mạch bán kính giảm đi 0.0047 cm và chiều dài tăng 0.082 cm (bỏ qua đơn vị tính). A. Giảm 0.363 B. Tăng 0.363 C. Tăng 0.4033 D. Giảm 0.4033 E. Một đáp án khác Lời giải. Sự thay đổi sức cản của máu chảy qua đoạn động mạch là ∆R Vi phân là dR = Rrdr + RLdL Dùng vi phân để ước tính sự thay đổi sức cản của máu chảy qua đoạn động mạch: ∆R ≈ dR ∆R ≈ Rrdr + RLdL = Rr(0.47, 4.1) · ∆r + RL(0.47, 4.1) · ∆L RL = 0.08r −4 ⇒ RL(0.47, 4.1) = 1.639451431 ≈ 1.6395 ⇒ ∆R ≈ −57.2064 · (−0.0047) + 1.6395 · 0.082 = 0.4033 Chọn đáp án C □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 3
Khóa học: "Giải tích 2 HCMUT" ĐẶNG TIẾN QUANG Cho mặt cong S có phương trình 2x 2 + 8y 2 − 3z 2 − 3x − 4z + 8 = 0 (1). Hãy trả lời các câu hỏi từ Câu 9 đến Câu 11. Câu 9. (L.O.1) Tên gọi của mặt S là A. Nón bậc 2 B. Hyperboloid 1 tầng C. Paraboloid Elliptic D. Paraboloid Hyperbolid E. Hyperboloid 2 tầng Lời giải. Hyperboloid 1 tầng: x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 Hyperboloid 2 tầng: x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = −1 Nón 2 phía: x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 Paraboloid elliptic: cz + d = x 2 a 2 + y 2 b 2 (hệ số của x 2 và y 2 cùng dấu ⇒ elliptic) Paraboloid hyperboic: cz + d = x 2 a 2 − y 2 b 2 (hệ số của x 2 và y 2 trái dấu ⇒ hyperbolic) Ta có: 2x 2 + 8y 2 − 3z 2 − 3x − 4z + 8 = 0 ⇔ 2x 2 − 3x + 8y 2 − 3z 2 − 4z = −8 ⇔ 2 x 2 − 3 2 x + 3 2 4 2 + 8y 2 − 3 z 2 + 4 3 z + 2 2 3 2 = −8 + 2. 3 2 4 2 − 3. 2 2 3 2 ⇔ 2 x − 3 4 2 + 8y 2 − 3 z + 2 3 2 = − 197 24 ⇔ x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = −1 Chọn đáp án E □ Câu 10. (L.O.1) Nếu z = z(x, y) là hàm ẩn xác định từ phương trình (1) sao cho z(3/2, 0) = 2 √ 7 − 1 3 , thì giá trị của (3/2, 0) là: A. −0.2835 B. 0.2835 C. −0.2551 D. Một đáp án khác E. 0.2551 Lời giải. Xét hàm F(x, y, z) = 2x 2 + 8y 2 − 3z 2 − 3x − 4z + 8 = 0 Fx = 4x − 3, Fz = −6z − 4 ∂z ∂x = zx = − Fx Fz = − 4x − 3 −6z − 4 = 4x − 3 6z + 4 = 6 − 3 4 √ 7 − 1 + 4 = 3 4 √ 7 = 0.2834733548 ≈ 0.2835 Chọn đáp án B □ Câu 11. (L.O.1) Gọi u là vector pháp với mặt cong tại điểm 3/2, 0, 2 √ 7 − 1 3 ! và góc giữa u và vector chỉ phương trục Ox là góc tù, u là vector nào dưới đây? A. − 3, 0, 4 √ 7 B. 3, 0, 4 √ 7 C. − 3, 0, −4 √ 7 D. Một đáp án khác E. 3, 0, −4 √ 7 Lời giải. Xét hàm F(x, y, z) = 2x 2 + 8y 2 − 3z 2 − 3x − 4z + 8 = 0 Fx = 4x − 3, Fy = 16y, Fz = −6z − 4 Vector pháp tuyến của S là nS = ±∇F = ± Fx, Fy, Fz = ± 3, 0, −4 √ 7 Vì góc giữa u và vector chỉ phương trục Ox là góc tù nên hoành độ của u < 0 ⇒ u = − 3, 0, −4 √ 7 Chọn đáp án A □ h https://www.facebook.com/giaitich.hcmut/ Trang 4