Tiêu đề 1.LY THUYET CHU DE 2-NGUYEN HAM VA TICH PHAN.pdf ✅

1 MỤC LỤC Chủ đề ❷. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN........................................................................... 2 A. Tóm tắt lý thuyết..................................................................................................................... 2 ❶. NGUYÊN HÀM.............................................................................................................. 2 ❷. TÍCH PHÂN ................................................................................................................... 3
2 Chủ đề ❷. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN A. Tóm tắt lý thuyết ❶. NGUYÊN HÀM 1. Định nghĩa Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thưc R. Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F ′ (x) = f(x) với mọi x thuộc K. Nếu F(x) là một nguyền hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số. Vì vậy, f(x)dx = F(x) + C. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Ta có: F ′ (x)dx = F(x) + C 2. Tính chất Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K. kf(x)dx = k f(x)dx với k là hằng số khác 0; [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx; [f(x) − g(x)]dx = f(x)dx − g(x)dx. 3. Nguyên hàm một số hàm số sơ cấp cơ bản Với α ≠ −1, ta có: x αdx = x α+1 α+1 + C; sin x dx = −cos x + C cos x dx = sin x + C 1 x dx = ln |x| + C Lý thuyết
3 ❷. TÍCH PHÂN 1 sin2 x dx = −cot x + C; 1 cos2 x dx = tan x + C; Với a > 0, a ≠ 1, ta có: a x dx = a x ln a + C. Lý thuyết 1. Định nghĩa Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b]. Khi đo a b f(x)dx = F(b) − F(a). 2. Tính chất Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Ta có: a b kf(x)dx = k a b f(x)dx (k là hằng số). a b [f(x) + g(x)]dx = a b f(x)dx + a b g(x)dx; a b [f(x) − g(x)]dx = a b f(x)dx − a b g(x)dx; Giả sử m, n, c là ba số thực tuyy ý thuộc đoạn [a; b], ta có: n m f(x)dx = c m f(x)dx + n c f(x)dx. 3. Tích phân một số hàm số sơ cấp cơ bản Với α ≠ −1, ta có: a b x αdx = x α+1 α+1 a b = b α+1−a α+1 α+1 ; Với hàm số f(x) = 1 x liên tục trên đoạn [a; b], ta có: b a 1 x dx = ln |x||a b = ln |b| − ln |a|; Lý thuyết
4 a b sin x dx = −cos x|a b = cos a − cos b a b cos x dx = sin x|a b = sin b − sin a; Với hàm số f(x) = 1 sin2 x liên tục trên [a; b], ta có: b a 1 sin2 x dx = −cot x|a b = cot a − cot b; Với hàm số f(x) = 1 cos2 x liên tục treßn ⌊a; b], ta có: b a 1 cos2 x dx = tan x|a b = tan b − tan a; Với a > 0, a ≠ 1, ta có α β a x dx = a x lna α β = a β−a α ln a . 4. Úng dụng Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: S = b a |f(x)|dx. Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bời đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là S = a b |f(x) − g(x)|dx. Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại x(a ≤ x ≤ b) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tich V của phần vật thể giới hạn bởi hai mạt phẳng trên được tính bởi công thức V = b a S(x)dx. Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b]. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay có thể tích bằng V = π a b [f(x)] 2 dx. Lý thuyết