Tiêu đề C5-B1-GIOI HAN CUA DAY SO - ALG.docx ✅

 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 2 ⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC ▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Ⓐ. Tóm tắt kiến thức   ❶. Giới hạn hữu hạn của dãy số  Giới hạn 0 của dãy số  Dãy số nu có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu nhỏ hơn một số dương bất kì cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim00. nn n u hay u khi n  Ta còn viết là lim0 n u .  Ta thừa nhận một số giới hạn cơ bản sau đây:  1 lim0 k n , với k nguyên dương bất kì.  lim0nq , với q là số thực thỏa mãn 1.q  Giới hạn hữu hạn của dãy số  Dãy số nu có giới hạn hữu hạn là số a ( hay nu dần tới a ) khi n dần tiến tới dương vô cực, nếu lim0.nua  Khi đó, ta viết lim.nnn n ua hay lim ua hay ua khi n   Chú ý: Nếu nuc (c là hằng số) thì limnlim ucc . ❷. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số  Cho ,limnnlim ua v= b và c là hằng số. Khi đó: limnnuvab limnnuvab lim..ncuca lim..nnuvab lim0n n ua b vb  Nếu 0,nnunthì a0 và limua¥ ❸. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  Cấp số nhân vô hạn nu có công bội q thỏa mãn 1q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.  Cấp số nhân lùi vô hạn này có tổng là  1 12...... 1n u Suuu q         
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 3 ❹. Giới hạn vô cực  Ta nói dãy số nu có giới hạn là nếu nu lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limnnu hay u khi n+.  Ta nói dãy số nu có giới hạn là khi n nếu limnu , kí hiệu limnnu hay u khi n+ .  Chú ý: Ta có các kết quả sau:  a) limnu khi và chỉ khi nlimu ;  b) Nếu limnu hoặc limnu thì 1 lim0 nu ;  c) Nếu lim00nnu và u với mọi n thì 1 lim nu .  Nhận xét:  )lim,1;kankk¥ )lim1.nbqq             Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản ⬩Dạng ❶: Xác định giới hạn của dãy số bằng định nghĩa ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Chứng minh rằng (1) lim0 n n   . Câu 2: Chứng minh rằng 2 (1) lim0 n n   . ⬩Dạng ❷: Tính giới hạn hữu hạn của dãy số bằng định lí ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các giới hạn sau: a) 3 2 lim5 n     b) 21 lim45 3nn     Câu 2: Tính các giới hạn sau: a) 42 lim 3 n b) 34 lim 2 5 n n   c) 1 3 1 lim 5n n  d) 5 lim6 4n     Câu 3: Tính các giới hạn sau:
 TRƯỜNG THPT …………………  CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025  Giáo viên:……….…….  Số ĐT……………. 4 a) 2 2 1 lim 22n n nn   b) 23 lim 13 n n n   . ⬩Dạng ❸: Tính giới hạn của dãy số có dạng ,,(0), 0 CC C C    ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các giới hạn sau: a) 1 2 lim 2n n b) 32 lim 4 n Câu 2: Cho hai dãy số ,nnuv với 2 45 3,8 132nnuv nn  . Tính: a) lim,limnnuv ; b) lim,lim,lim,limnnnnnnn n u uvuvuv v ⬩Dạng ❹: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Tính các tổng sau: a) 2 222 2 555nM b) 2 331 33 444 n N    Câu 2: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn: a) 23 1111 1 5555 n     b) 23 21 222 2 333 n n ⬩Dạng ❺: Ứng dụng thực tế ☞Các ví dụ minh họa Câu 1: Một mẫu chất phóng xạ 21084Po có khối lượng ban đầu 042()mmg , nhưng cứ sau một khoảng thời gian 138T ngày thì khối lượng chất đó giảm đi một nửa ( T được gọi là chu kì bán rã). Gọi nu là khối lượng còn lại của mẫu chất phóng xạ sau n chu kì bán rã.. a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số nu . b) Tính giới hạn của dãy số nu và cho biết ý nghĩa của giới hạn đó. Câu 2: Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với 3100 m ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?