Tiêu đề [tailieutoan.vn]_Toán thực tế 12_Chuyên đề 3_Đường tiệm cận của hàm số_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x a  được gọi là một đurờng tiệm cận đứng (hay tiệm cận đúnng) của đồ thị hàm số y f x  ( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thoả mãn lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( ) x a x a x a x a f x f x f x f x                 Đường thẳng x a  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x  ( ) được minh hoạ như Hình 2. 2. Đường tiệm cận ngang Đường thẳng y m được gọi là một đurờng tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x  ( ) nếu lim ( ) x f x m   hoặc lim ( ) x f x m   . Đường thẳng y m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x  ( ) được minh hoạ như Hình 5 . 3. Đường tiệm cận xiên Đường thẳng y ax b a    , 0 , được gọi là đuoòng tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y f x  ( ) nếu lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b     hoặc lim [ ( ) ( )] 0 x f x ax b     . Đường thẳng y ax b   là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x  ( ) được minh hoạ như Hình 8 . Nhận xét:
a) Trong trường hợp tổng quát, có thể tìm các hệ số a b, trong phương trình của đường tiệm cận xiên y ax b   theo công thức như sau: ( ) lim , lim [ ( ) ] x x f x a b f x ax   x    hoặc ( ) lim , lim [ ( ) ] x x f x a b f x ax   x    . b) Khi a  0 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng y b  . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1. Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x (tháng) được tính theo công thức   9 200 5 2 S x x          , trong đó x 1 (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). a) Xem y S x    là một hàm số xác định trên nửa khoảng 1;, hãy tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đó. b) Nêu nhận xét về số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) khi x đủ lớn. Lời giải a) Xét hàm số   9 200 5 2 y S x x           với x  1; . Ta có 9 9 lim lim 200 5 1000; lim lim 200 5 1000 x x x x 2 2 y y     x x                     . Do đó đường thẳng y 1000 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho trên nửa khoảng 1;. b) Ta có đồ thị hàm số y S x x     , 1;   nhận đường thẳng y 1000 làm tiệm cận ngang, tức là khi x càng lớn thì số lượng sản phẩm bán được của công ty đó trong x (tháng) sẽ tiến gần đến 1000 sản phẩm. Câu 2. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C x x ( ) 2 50   (triệu đồng). Khi đó ( ) ( ) C x f x x  là chi phi sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f x( ) giảm và lim ( ) 2 x f x   . Tính chất này nói lên điều gì? Lời giải Có ( ) 2 50 50 ( ) 2 C x x f x x x x      . Có 2 50 f x( ) 0 x     . Do đó hàm số f (x) giảm. Có 50 lim ( ) lim 2 2 x x f x   x          . Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và giới hạn của chi phí trung bình là 2 triệu đồng khi số lượng sản phẩm tiến gần đến vô cùng. Điều này có thể hiểu là khi sản xuất nhiều sản phẩm hơn, chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm và tiến gần đến một giá trị ổn định. Câu 3. Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số 1 2 55 144 2 y x    với x và y tính bằng đơn vị centimét. Chứng minh rằng 1 55 2 y x   là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số này.
Lời giải Tập xác định: D   . Ta có   1 1 1 2 2 lim 55 144 55 lim 144 x x 2 2 2 x x x x                            2 1 144 lim 0. 2 144 x x x             Tương tự ta cũng có 1 1 2 lim 55 144 55 0 x 2 2 x x                         . Do đó 1 55 2 y x   là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 1 2 55 144 2 y x    . Câu 4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 2 144 m . Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x m( ) . a) Viết biểu thức tính chu vi P x( ) (mét) của mảnh vườn. b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P x( ) . Lời giải a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là 144 ( )( 0) m x x  . Chu vi mảnh vườn là 2 144 2 288 ( ) 2 ( m)x 0 x P x x x x               . b) Ta có 2 0 0 2 288 lim ( ) lim x x x P x x         . Tương tự 2 0 0 2 288 lim ( ) lim x x x P x x         Vậy x  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 144 288 lim [ ( ) 2 ] lim 2 2 lim 0 x x x P x x x x    x x                   Tương tự 144 288 lim [ ( ) 2 ] lim 2 2 lim 0 x x x P x x x x    x x                   . Do đó y x  2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Câu 5. Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức 2 15 ( ) 5 9 1 t y t t    , với y được tính theo mg / l và t được tính theo giờ, t  0 . Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y y t  ( ) . Từ đó, có nhận xét gì về nồng độ oxygen trong hồ khi thời gian t trở nên rất lớn? (Theo: www.researchgate.net/publication/264903978_Microrespirometric characterization_of_activated_sludge_inhibition_by_copper_and_zinc) Lời giải 2 2 15 15 Có lim ( ) lim 5 lim 5 5 9 1 1 9 t t t t t y t t t                       2 2 15 15 lim ( ) lim 5 lim 5 5 9 1 1 9 t t t t t y t t t                       Do đó y  5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số và hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận xiên. Nhận xét: Khi thời t trở nên rất lớn, nồng độ oxygen trong hồ sẽ tiến dần về giá trị cố định là 5 mg / l . Điều này có thể được hiểu sau một thời gian dài, môi trường trong hồ sẽ đạt đến một trạng thái ổn định nồng độ oxygen không thay đổi nhiều. Câu 6. Một bình chứa 200 ml dung dịch muối với nồng độ 5mg / ml . a) Tính nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10mg / ml . b) Phải thêm bao nhiêu mililít vào bình để có dung dịch muối với nồng độ 9 mg / ml ? Nồng độ muối trong bình có thể đạt đến 10mg / ml được không? Lời giải a) Nồng độ dung dịch muối trong bình sau khi thêm vào x ml dung dịch muối với nồng độ 10mg / ml là 1000 10 ( ) 200 x C x x    . b) Để có dung dịch muối với nồng độ 9mg / ml , ta phải thêm vào bình xml với x thoà mãn C x( ) 9  . Khi đó ta có x  800(ml) . Rõ ràng C x( ) là hàm đồng biến trên khoảng (0; )  và lim ( ) 10 x C x   . Do đó, nồng độ muối trong bình không thể đạt đến 10mg / ml . Câu 7. Chi phí để làm sạch p% lượng dầu loang từ một sự cố trên biển có thể được xấp xỉ bời công thức 2000 ( ) 100 p C p p   (tỉ đồng) a) Tính chi phí để làm sạch 95%,96%,97%,98% và 99% lượng dầu loang. b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số C p( ) . Lời giải