Tiêu đề Chương 3_Bài 3_Hàm số liên tục_CTST_Đề bài.pdf ✅

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hàm số liên tục tại một điểm Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng K và 0 x  K . Hàm số y  f  x được gọi là liên tục tại điểm 0 x nếu     0 0 lim . x x f x f x   Nhận xét: Để hàm số y  f  x liên tục tại 0 x thì phải có cả ba điều kiện sau: 1. Hàm số xác định tại 0 x ; 2. Tồn tại   0 limx x f x  ; 3.     0 0 lim . x x f x f x   Chú ý: Khi hàm số y  f  x không liên tục tại điểm 0 x thì ta nói f  x gián đoạn tại điểm 0 x và 0 x được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f  x. 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn  Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu f  xliên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy. Cho hàm số y  f  x xác định trên khoảng a;b. Hàm số y  f  x được gọi là liên tục trên đoạn a;b nếu f  xliên tục trên khoảng a;b và lim    , lim    . x a x b f x f a f x f b       Nhận xét: Đồ thị của hàm số y  f  x liên tục trên đoạn a;blà một đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (Hình 3). Nếu hai điểm này nằm về hai phía so với trục hoành thì đường liền nói trên luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm. Điều này còn được phát biểu dưới dạng sau: Nếu hàm số y  f  x liên tục trên đoạn a;b và f a. f b  0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm ca;b sao cho f c  0 . 3. Tính liên tục của hàm sơ cấp  Hàm số đa thức y  P x , các hàm lượng giác y  sin x, y  cos x liên tục trên  .
 Hàm số phân thức     P x y Q x  , hàm số căn thức y  P x , các hàm số lượng giác y  tan x , y = cot x liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng. Trong đó P x và Q xlà các đa thức. Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp. 4. Tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục Cho hai hàm số y  f  x và y= g  xliên tục tại điểm 0 x . Khi đó:  Các hàm số y  f  x  g  x, y = f  x - g  x và y = f  x.g  xliên tục tại 0 x .  Hàm số     f x y g x  liên tục tại 0 x nếu g  x0   0 . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Xét tính liên tục của hàm sô: a)   2 1 khi 0 1 khi 0 x x f x x x         tại điểm x  0 ; b)   2 2 khi 1 khi 1 x x f x x x        tạ điểm x 1. Bài 2. Cho hàm số   2 4 khi 2 2 khi 2 x x f x x a x             Tìm a để hàm số y  f  x liên tục trên  . Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau: a)   2 4 x f x x   ; b)   2 g x  9  x ; c) h x  cosx  tanx . Bài 4. Cho hàm số f  x  2x  sinx, g  x  x 1 . Xét tính liên tục hàm số y  f  x g  x và     f x y g x  . Bài 5. Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C x (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:   60000 khi0 2 100000 khi2 4 200000 khi4 24. x C x x x             Xét tính liên tục của hàm số C x. Bài 6. Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là
  3 2 khi0 khi , GMr r R R F r GM r R r          trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F r có liên tục trên 0;  không? C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm 1. Phương pháp Ta cần phải nắm vững định nghĩa: Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng K và 0 x K. Hàm số y  fx gọi là liên tục tại 0 x nếu 0 0 x x0 x x x x o o lim f(x) f(x ) lim f(x) lim f(x) f(x ).          2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho   x 2 2 x f x x     với x  0. Phải bổ sung thêm giá trị f0 bằng bao nhiêu thì hàm số liên tục tại x  0? Ví dụ 2: Cho hàm số   2 a x vôùi x 1 vaø a f x . 3 vôùi x 1          Giá trị của a để fx liên tục tại x 1 là bao nhiêu? Ví dụ 3: Cho hàm số   2 3 x 1 vôùi x 3 vaø x 2 f x . x x 6 b 3 vôùi x 3 vaø b                Tìm b để fx liên tục tại x  3. Ví dụ 4: Cho hàm số   a 2 khi x 2 f x . sin khi x 2 x           Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x  2. Ví dụ 5: Tìm số a để hàm số sau liên tục tại điểm 0 x .   3 3x 2 2 neáu x 2 f x x 2 ax 2 neáu x 2             ; 0 x  2. Ví dụ 6: Cho hàm số   x 2 vôùi 5 x 4 x 5 f x mx 2 vôùi x 4 . x vôùi x 4 3               Tìm giá trị của m để fx liên tục tại x  4 . Ví dụ 7: Cho hàm số   2 2 2 x 8 3 neáu x 1 f x x 4x 3 . 1 cos x a x neáu x 1 6                Tìm giá trị của a để fx liên tục tại x 1.
Dạng 2. Hàm số liên tục trên tập xác định 1. Phương pháp  Để chứng minh hàm số y  f  x liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.  Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.  Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào  Hàm số y  fx được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.  Hàm số y  fx được gọi là liên tục trên đoạn a,b   nếu nó liên tục trên a,b và x a x b lim f(x) f(a), lim f(x) f(b).       2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng : a)   2 4 2 2 4 2 x khi x f x x khi x             b)   2 2 2 2 2 2 2 x khi x f x x khi x           Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng: a)   2 2 2 2 2 x x khi x f x x m khi x              b)   2 1 2 1 1 1 x x khi x f x khi x mx khi x            Dạng 3. Số nghiệm của phương trình trên một khoảng 1. Phương pháp  Chứng minh phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm - Tìm hai số a và b sao cho fa.fb  0 - Hàm số fx liên tục trên đoạn a;b   - Phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm   0 x  a;b  Chứng minh phương trình fx  0 có ít nhất k nghiệm - Tìm k cặp số i i a ,b sao cho các khoảng   i i a ;b rời nhau và i i f(a )f(b )  0, i 1,...,k - Phương trình fx  0 có ít nhất một nghiệm   i i i x  a ;b .  Khi phương trình fx  0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho : - fa, fb không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi. - Hoặc fa, fb còn chứa tham số nhưng tích f(a).f(b) luôn âm.