Tiêu đề Đề số 19.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 19 Câu 1: a) Rút gọn biểu thức 2111 111 xx P xxxxx    với 0,1xx b) Cho a, b, c là các số thực sao cho a + b + c = 2 và 1abc bccaab  . Tính giá trị của biểu thức 111 Q bccaab  . Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho n là số nguyên dương và 123nn chia hết cho 2. Chứng minh rằng 123nn chia hết cho 8. b) Xác định tất cả các cặp số (a; b) với a, b nguyên dương sao cho phương trình 2 230axbxa (với x là ẩn số) có hai nghiệm nguyên dương phân biệt. Câu 3. (4,0 điểm) a) Chứng tỏ rằng không tồn tại cặp số nguyên dương (x; y) sao cho x + 1 = 4y. b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3abc. Chứng minh rằng 222 3 3 và . 1112 abc abc bca  Câu 4. (2,0 điểm) Cho tập hợp X = {1; 2; 3; ...; 20} gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Một tập hợp 4 chỉ chứa các phần tử thuộc X được gọi là “tập tốt” nếu không tồn tại hai phần tử a, b thuộc A sao cho a < b và b chia hết cho a. a) Hãy tìm một “tập tốt có đúng 10 phần tử. b) Gọi A là một “tập tốt” bất kỳ có đúng 10 phần tử. Chứng minh rằng với mọi số nhiên m lẻ và m < 20, luôn tồn tại a thuộc A sao cho a chia hết cho m. Câu 5. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, có đường cao AD và trung tuyến AM. Kẻ đường kính AE, tia EM cắt AD tại H và cắt (O) tại F (F  E). a) Chứng minh M là trung điểm EH và 2BC = 4ME.MF.
b) Chứng minh BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác FBH. c) Chứng minh tứ giác AFDM nội tiếp và  BFDMAC . ĐÁP ÁN Câu 1: a) Ta có: 21(1)(1)(1) (1)(1) xxxxx P xxx    Hay 211121 . (1)(1)(1)(1) xxxxxx P xxxxxx    Vậy 21 1 x P xx    b) Do 1abc bccaab  nên 1114abc bccaab  Hay 111 ()4.abc bccaab     Mà a + b + c = 2 suy ra 111 2.Q bccaab  Câu 2: a) Do 123nn chia hết cho 2 nên n là số lẻ Khi đó 211(mod8),31(mod8)nn (do n + 1 là số chẵn) Vậy 123nn chia hết cho 8. b) Từ giả thiết suy ra 23a PZ a   hay a là ước nguyên dương của 3. Nếu a = 1 khi đó P = 5 = 1.5 suy ra b = 6. Nếu a = 3 khi đó P = 3 = 1.3 suy ra b = 12. Câu 3: a) từ giả thiết suy ra 3(21)(21)xyy Do 2y – 1 và 2y + 1 là hai số lẻ liên tiếp nên nguyên tố cùng nhau Hay tồn tại a, b *N và b > a sao cho 3 3 21 21 ya yb    
Suy ra 33222()()2babababa Mà 22baba > 3 nên baN vô lí Hay ta có điều phải chứng minh. b) Ta có: 222222333abcabcabc suy ra 1abc Mà 33abcabc nên 3abc Ta có: 2222 () . 1113 abcabc bcaabc    Do 3abc nên 2 ()3()3 332 abcabc abcabc    Vậy 222 3 . 1112 abc bca  Câu 4: a) Một tập tốt có đúng 10 phần tử là: {11; 12; …; 20} b) Xét ia với 1,10i là 10 phần tử thuộc A, khi đó ia luôn biểu diễn dưới dạng 2.;,is iiiiamsNm lẻ. Do 1;3;5;...;19iiaXmT tập T này có đúng 10 phần tử Do A là tập tốt nên các số im là đôi một khác nhau, tức là với mọi m lẻ và m < 20 luôn tồn tại im = m Hay ia chia hết cho m. Câu 5: a) ta có: OM // AH mà O là trung điểm AE nên M là trung điểm HE Mà FBEC nội tiếp nên ..MEMFMCMB
Hay 24..BCMEMF b) Ta có M là trung điểm EH và ..MEMFMCMB Nên 2.MBMHMF Suy ra tam giác MHB đồng dạng với tam giác MBF hay  MBHMFB Vậy BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác FBH c) Ta có tam giác AFM vuông tại F nên tứ giác AFDM nội tiếp Suy ra  AFDAMC Mà tứ giác AFBC nội tiếp nên  180AFBACM∘ Hay  180AMCDFBACM∘ Vậy  BFDMAC