Tiêu đề Chuyên đề 15. CUNG CHỨA GÓC.doc ✅

(không có dấu bằng vì không có bốn điểm thuộc cùng một đường tròn) Vẽ đường tròn ngoại tiếp 501AMB thì đường tròn này có đúng 500 điểm M 1 ; M 2 ;...;M 500 nằm bên trong (theo ví dụ 3). Nhận xét. Dựa vào kĩ thuật của bài bạn có thể chứng tỏ được: • Tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong số các điểm nói trên chứa tất điểm các điểm còn lại. • Tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong số các điểm nói trên chứa không chứa điểm nào trong các điểm còn lại. Ví dụ 5. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Trên đường thẳng AB lấy một điểm M sao cho điểm A nằm trong đoạn BM MA . Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O’) các tiếp tuyến MC, MD (C và D là tiếp điểm, C nằm ngoài đường tròn (O)). Đường thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm P. Đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn (O) tại điểm Q. Đường thẳng CD cắt PQ tại R. Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua một điểm cố định. Giải Ta có QPBQAB (góc nội tiếp chắn cung BQ )  DABDCB (góc nội tiếp chắn cung )BD Suy ra KPBKCB P và C cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ BK, cùng nhìn BK dưới một góc bằng nhau  P và C cùng thuộc một cung chứa góc dựng trên đoạn BK. Tức là đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP luôn đi qua điểm B cố định. C. Bài tập vận dụng 15.1. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O. Kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, C, M, K cùng thuộc một đường tròn. b) MK vuông góc với AB. Giải a) Dễ dàng chứng minh AB  CD nên ACAD Do đó ACMABD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây và góc nội tiếp chắn hai dây cung bằng nhau) Tức là KCMKBM . Tứ giác BCMK có các điểm B và C cùng nhìn KM dưới hai góc bằng nhau nên bốn điểm B, C, M, K thuộc cùng một đưòng tròn. b) Từ câu a suy ra 90BMKBCK . Vậy KM  AB. 15.2. Cho tam giác ABC đường cao AH, đường trung tuyến AM (H, M phân biệt và thuộc cạnh BC) thỏa mãn BAHMAC . Chứng minh rằng 90BAC Giải Gọi E là trung điểm AB. Ta có  11HBAHMACM nên bốn điểm A, M, H, E thuộc cùng một đường tròn. Suy ra 90AEMAHM Do EM // AC nên 90BAC 15.3. Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định (O không thuộc AB), P là điểm di động trên đoạn AB (P khác A, B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với (O) tại A. Qua B, P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P). a) Chứng minh: ANPBNP b) Chứng minh: 90PNO