Tiêu đề Chương 2_Bài 4_Hệ Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn_Lời giải_Toán 10_KNTT.pdf ✅

BÀI 4. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Cặp số  x0 ; y0  là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi  x0 ; y0  đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó. 2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 3. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN HĐ3: Xét biểu thức F  x; y  2x  3y với  x; y thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Tọa độ ba đỉnh là O0;0, A150;0 và B0;150 (H.2.5). a) Tính giá trị của biểu thức F  x; y tại mỗi đỉnh O , A và B . b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm  x; y nằm trong miền tam giác OAB . Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F  x; y trên miền tam giác OAB . c) Nêu nhận xét về tổng x  y của điểm  x; y nằm trong miền tam giác OAB . Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F  x; y trên miền tam giác OAB . Giải a) F 0;0  0, F 150;0  300 , F 0;150  450 . b) Điểm  x; y nằm trong miền tam giác OAB thì x  0 , y  0 . Do đó giá trị nhỏ nhất của F  x; y trên miền tam giác OAB là F 0;0  0. c) Điểm  x; y nằm trong miền tam giác OAB thì x  y 150 . Do đó giá trị lớn nhất của F  x; y trên miền tam giác OAB là F 0;150  450 . Nhận xét. Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F  x; y  ax  by , với  x; y là tọa độ các điểm thuộc miền đa giác 1 2 ... A A An , tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó. Ví dụ 3. Giải bài toán ở tình huống mở đầu. Giải Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hòa hai chiều là x và số máy điều hòa một chiều là y . Khi đó ta có x  0 , y  0 . Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x  y 100 . Số tiền để nhập hai loại máy điều hòa với số lượng như trên là: 20x 10y (triệu đồng). Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có 20x 10y 1200 hay 2x  y 120 .
Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: 0 0 100 2 120. x y x y x y            Lợi nhuận thu được khi bán được x máy điều hòa hai chiều và y máy điều hòa một chiều là F  x; y  3,5x  2y . Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F  x; y khi  x; y thỏa mãn hệ bất phương trình trên. Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh O0;0, A0;100 , B20;80 và C60;0 (H.2.7). Bước 2. Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác này: F 0;0  0, F 0;100  200 , F 20;80  230, F 60;0  210 . Bước 3. So sánh các giá trị thu được của F ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là F 20;80  230. Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hòa hai chiều và 80 máy điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 4. Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn? a) 0 0 x y      b) 2 0 1 x y y x        c) 0 0 x y z y        d) 2 2 2 3 4 3 1 x y x y        Lời giải a) Ta thấy hệ 0 0 x y      gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là x  0 và y  0 => Hệ trên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Ta thấy hệ 2 0 1 x y y x        không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì 2 x y  0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (chứa 2 y ) c) Ta thấy hệ 0 0 x y z y        không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì x  y  z  0 không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (có 3 ẩn) d) Ta có: 2 2 2 3 2 9 4 3 1 16 3 1 x y x y x y x y                 Đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn là 2x  y  9 và 16x  3y 1 Chú ý Bất phương trình dạng ax  0 cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì ở đây ta có hệ số b  0. Câu 5. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: a) 1 0 0 y x x y           b) 0 0 2 4 x y x y          c) 0 5 0 x x y x y           Lời giải a) Xác định miền nghiệm của bất phương trình y  x  1 + Vẽ đường thẳng d : x  y  1 + Vì 0  0  0  1 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình y  x  1 Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y  x  1 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O. Miền nghiệm của bất phương trình x  0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) không kể trục Oy . Miền nghiệm của bất phương trình y  0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;-1) không kể trục Ox . Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu xanh (Không kể đoạn thẳng AB và các trục tọa độ).
b) Miền nghiệm của bất phương trình x  0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy . Miền nghiệm của bất phương trình y  0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) kể cả trục Ox . Xác định miền nghiệm của bất phương trình 2x  y  4 + Vẽ đường thẳng d: 2x  y  4 + Vị 2.0  0  0  4 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x  y  4 Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 2x  y  4 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O. Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác OAB (kể cả các đoạn thẳng OA,OB, AB ). c) Miền nghiệm của bất phương trình x  0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) kể cả trục Oy . Xác định miền nghiệm của bất phương trình x  y  5  Vẽ đường thẳng d : x  y  5  Vì 0  0  0  5 nên tọa độ điểm O(0;0) không thỏa mãn bất phương trình x  y  5 . Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x  y  5 là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc tọa độ O. Xác định miền nghiệm của bất phương trình x  y  0 + Vẽ đường thẳng d : x  y  0 + Vì 1 0 1  0 nên tọa độ điểm (1;0) không thỏa mãn bất phương trình x  y  0 Do đó, miền nghiệm của bất phương trình x  y  0 là nửa mặt phẳng bờ d' không chứa điểm (1;0). Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền màu nâu (không kể d và d')