Tiêu đề KNTTVCS-Hình học 12-Chương 5-Bài 1-Phương trình mặt phẳng-Chủ đề 1-Xác định các yếu tố cơ bản MP-ĐỀ BÀI.pdf ✅

Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 1 CHƢƠNG 5 PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1 PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phƣơng của mặt phẳng a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Cho mặt phẳng ( )  . Vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( )  gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  . Nhận xét:  Nếu n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  thì kn ( 0) k  cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  .  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. b. Cặp vectơ chỉ phƣơng của mặt phẳng Cho mặt phẳng ( )  . Nếu hai vectơ a và b không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( )  thì a b, là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng ( )  . Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó.
Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 2 Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phƣơng Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng ( )  nhận hai vectơ 1 2 3 1 2 3 a a a a b b b b   ( ; ; ), ( ; ; ) làm cặp vectơ chỉ phương thì ( )  nhận 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 n a b a b a b a b a b a b     ( ; ; ) làm vectơ pháp tuyến. Chú ý:  Vectơ 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 n a b a b a b a b a b a b     ( ; ; ) được gọi là tích có hướng của hai vectơ 1 2 3 a a a a  ( ; ; ) và 1 2 3 b b b b  ( ; ; ) , kí hiệu là   a b,   .    2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 , ; ; ; ; b b b a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b b b b                 a cùng phương với b     a b, 0    Nếu n a b    ,   thì vectơ n vuông góc với cả hai vectơ a và b 2. Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng a. Khái niệm phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: Ax By Cz D     0 với 2 2 2 A B C    0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét:  Nếu mặt phẳng ( )  có phương trình Ax By Cz D     0 (với 2 2 2 A B C    0 ) thì vectơ n A B C  ( ; ; ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )  .  Cho mặt phẳng ( )  có phương trình Ax By Cz D     0 . Khi đó: 0 0 0 0 0 0 0 N x y z Ax By Cz D ( ; ; ) ( ) 0        b. Lập phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một số điều kiện  Lập phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết vectơ pháp tuyến Trong không gian Oxyz , phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm 0 0 0 0 M x y z ( ; ; ) và có vectơ pháp tuyến n A B C  ( ; ; ) là: 0 0 0 A x x B y y C z z ( ) ( ) ( ) 0       hay Ax By Cz D     0 với D Ax By Cz     0 0 0
Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 3  Lập phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phƣơng Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )  đi qua điểm 0 0 0 0 M x y z ( ; ; ) và có cặp vectơ chỉ phương a b, , ta thực hiện như sau: Bƣớc 1: Tìm một vectơ pháp tuyến n a b    ,   . Bƣớc 2: Viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua điểm 0 0 0 0 M x y z ( ; ; ) và có vectơ pháp tuyến n .  Lập phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng ( )  đi qua ba điểm A B C , , không thẳng hàng, ta thực hiện như sau: Bƣớc 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương AB AC , . Bƣớc 2: Tìm một vectơ pháp tuyến n AB AC    ,   . Bƣớc 3: Viết phương trình mặt phẳng ( )  đi qua điểm A (hoặc điểm B hoặc điểm C ) và có vectơ pháp tuyến n . Nhận xét: Mặt phẳng ( )  không đi qua gốc tọa độ O và lần lượt cắt trục Ox tại A a( ;0;0) , cắt trục Oy tại B b (0; ;0) , cắt trục Oz tại C c (0;0; ) có phương trình là 1 x y z a b c    . với abc . . 0  Phương trình trên được gọi là phƣơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Hình học 12 – Chương 5 – Phương pháp tọa độ trong không gian Trang 4 3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc a. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Trong không gian Oxyz , cho 2 mặt phẳng 1 1 1 1 1 ( ) : 0  A x B y C z D     và 2 2 2 2 2 ( ) : 0  A x B y C z D     có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 1 1 1 2 2 2 2 n A B C n A B C   ( ; ; ), ( ; ; ) . Khi đó:   1 2 1 2 1 2 ( ) // ( ) n kn k D kD          Chú ý:    1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) n kn k D kD            1 ( )  cắt 2 1 ( )  n và 2 n không cùng phương. b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Trong không gian Oxyz , cho 2 mặt phẳng 1 1 1 1 1 ( ) : 0  A x B y C z D     và 2 2 2 2 2 ( ) : 0  A x B y C z D     có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1 1 1 1 2 2 2 2 n A B C n A B C   ( ; ; ), ( ; ; ) . Khi đó: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . 0 0          n n A A B B C C 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm 0 0 0 0 M y z (x ; ; ) và mặt phẳng ( ): 0  Ax By Cz D     . Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( )  được tính: 0 0 0 0 2 2 2 | | ( ,( )) Ax By Cz D d M A B C       