A.P.U. “EXITUS” Verano 2014 Piura : Calle Arequipa #300 - Telf. 331669/323644 www.academiaexitus.edu.pe Sullana : Calle Leoncio Prado #226 Telf. 501094
[email protected] 2 NÚMEROS PRIMOS Continuando con nuestro trabajo en teoría de números; nos adentramos ahora al capítulo de Números Primos; en este tema clasificaremos el conjunto de los números naturales de acuerdo a su cantidad de divisores, y encontramos que este se subdivide en tres grupos; veamos: 1. LA UNIDAD Es el número uno (1) y es el único que admite un único divisor; él mismo. 2. NÚMERO PRIMO ABSOLUTO. Son aquellos números que admiten únicamente dos divisores siendo éstos la unidad y él mismo. EJEMPLOS: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97; 101; 103; ... Nota: Algunos números primos; sobre todo los primeros; satisfacen la regla de correspondencia (4n 1). Ojo debes tener cuidado que no son todos. Determinación de un número primo absoluto Para determinar si un número es o no primo absoluto; seguimos el presente algoritmo. a) Aproximar su raíz cuadrada por exceso. b) Averiguar todos los primos absolutos menores o iguales a esa raíz. c) Verificar si el número es divisible por alguno de estos primos. d) En caso de no ser divisible por ninguno, entonces el número es Primo Absoluto. Ejm: Averiguemos si 2227 es primo. a) 2227 16 b) Primos absolutos 16 {2; 3; 5; 7; 11; 13} c) El número no es divisible por ninguno. d) El número es primo absoluto. 3. NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números que admiten más de dos divisores. Ejm. 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; ... 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA “Todo número compuesto se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes naturales . . . . a b c d e N A B C D E Donde: A, B, C, D, E primos absolutos a, b, c, d, e a Notas i) A esta descomposición se le conoce con el Nombre de DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA. ii) La descomposición canónica de un número es única. A partir de esta descomposición se puede obtener mucha información con respecto al número, tal como: Cantidad de divisores, divisores primos, suma de divisores, suma de inversas de los divisores, producto de divisores, etc. 5. FÓRMULAS ESPECIALES Dada la descomposición canónica de un número: N = Aa . Bb . Cc ... Pp donde: A; B; C; ...; P primos absolutos distintos entre sí (factores o divisores primos) a; b; c; ...; p Podemos calcular: 5.1 Cantidad de divisores de N Para calcular la cantidad de divisores de un número; se toman los exponentes de su descomposición canónica; se les suma uno; y luego se multiplican estas sumas. Así: D(N) (a 1)(b 1)(c 1)(p 1) Ejemplos: ¿Cuántos divisores tiene 180? Tenemos que: 180 = 22 x 32 x 51 Luego: D(180) = (2+1)(2+1)(1+1)= 18 Observaciones: a) Divisores compuestos Aquellos divisores que no sean primos ni la unidad se les llama divisores compuestos del número. Sea N un número entero positivo, se cumple que: Donde: DN = Divisores del Número “N” b) Divisores pares Para calcular los divisores pares de un número; se ubica el factor dos; si fija su exponente y al resto de factores se les aplica la fórmula. Ejm: Halla los divisores pares de N: N = 23 3 4 5 3 OBSERVACIÓN. El numero “1” no es un numero primo, es mas bien divisor de cualquier número. D(N) = DN = Dcompuestos + Dprimos +1
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