Tiêu đề Chuyên đề 12_Bất đẳng thức và các bài toán cực trị_Lời giải.pdf ✅

1 CHUYÊN ĐỀ 12_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC CÂU TOÁN CỰC TRỊ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Bất đẳng thức là hai biểu thức nối với nhau bởi một trong các dấu > (lớn hơn), < (nhỏ hơn),  (lớn hơn hoặc bằng),  (nhỏ hơn hoặc bằng). Ta có: A B A B > Û - > 0 A B A B  Û -  0 Trong bất đẳng thức A B > (hoặc A B A B A B <   , , ), A gọi là vế trái, B gọi là vế phải của bất đẳng thức. Các bất đẳng thức A B > và C D> gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều. Các bất đẳng thức A B > và E F < gọi là hai bất đẳng thức trái chiều. Nếu ta có A B C D > Þ > ta nói bất đẳng thức C D> là hệ quả của bất đẳng thức A B > . Nếu ta có A B E F > Û > ta nói hai bất đẳng thức A B > và E F > là hai bất đẳng thức tương đương A B > (hoặc A B < ) là bất đẳng thức ngặt: A B  (hoặc A B  ) là bất đẳng thức không ngặt A B  là A B > hoặc A B = A B 1 cũng là bất đẳng thức Hai bất đẳng thức cùng chiều, hợp thành một dãy không mâu thuẫn gọi là bất đẳng thức kép. Ví dụ: A B C < < II. TÍNH CHẤT Tính chất 1: (tính chất bắc cầu) a b > và b c a c > Þ > Tính chất 2: a b a c b c > Û + > + Hệ quả: a b c a c b > + Û - > Tính chất 3: a b > và c d a c b d > Þ + > + Tính chất 4: neáu 0 neáu 0 ac bc c a b ac bc c ì > > > Û í î < < Tính chất 5: a b > > 0 và c d ac bd > > Þ > 0 Tính chất 6: a b > > 0 , n nguyên dương n n Þ > a b Tính chất 7: a b > > 0 , n nguyên dương n n Þ > a b Hệ quả: a b, 0  2 2 a b a b a b  Û  Û > Tính chất 8: 1 1 a b ab , 0 a b > > Þ < Tính chất 9: a >1, m và n nguyên dương, m n m n a a > Þ > ; 0 1 < < a , m và n nguyên dương, m n m n a a > Þ < . III. CHỨNG MINH BĐT Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào bất đẳng thức đúng đã biết. Ghi nhớ: "a 1) 2 2 a a  -  0; 0 . Dấu " = " xảy ra Û = a 0
2 2) a a a   - . Dấu "=" xảy ra Û = a 0 Có hai cách chứng minh bất đẳng thức: Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng. Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp. Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. Phương pháp 1 (Vận dụng định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức): Để chứng minh A B  , ta cần chứng minh A B-  0 Phương pháp 2 (Phương pháp biến đổi tương đương): Để chứng minh A B  , ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. Phương pháp giải 3: (Phương pháp làm trội) Để chứng minh A B  nhiều khi ta phải chứng minh A C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B . Từ đó ta có A B  , hoặc ta chứng minh D B  với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A : D A  , từ đó ta có A B  . Phương pháp giải 4: (Phương pháp chứng minh phản chứng ) Để chứng minh A B  , ta giả sử A B < , từ đó lập luận để dẫn đến điều vô lí. Như vậy, ta đã dùng phương pháp chứng minh phản chứng. Phương pháp giải 5: (Phương pháp vận dụng các bài toán cơ bản về phân số) Một số bài toán bất đẳng thức có dạng phân thức thường vận dụng các bài toán cơ bản về phân số. Ta có hai bài toán cơ bản sau đây: Bài toán 1. Với a b c , , 0 > . Chứng minh rằng: a) Nếu a b < thì a a c b b c + < + b) Nếu a b  thì a a c b b c + > + Hướng dẫn giải a) a b < Þ ac bc < Þ ab ac ab bc + < +     a a c a b c b a c b b c + Þ + < + Þ < + . b) Chứng minh tương tự. Bài toán 2. Với x y z , , 0 > . Chứng minh rằng: a) 2 1 4 xy x y ( )  + ; b) 1 1 4 x y x y +  + ; c) 1 1 1 9 x y z x y z + +  + + Hướng dẫn giải a) 2 2 2 ( ) 0 ( ) 4 4 ( ) 4 x y x y xy xy x y xy -  Þ - +  Þ +  2 1 4 xy x y ( ) Þ  + b) Từ a) ta có 2 4 1 1 4 ( ) 4 x y x y xy xy x y x y x y + +  Þ  Þ +  + + . c)   1 1 1 1 1 1 x y y z x z x y z x y z y x z y z x æ ö + + + + = + + + + + + + + ç ÷ è ø 9 2 2 2 x y y z x z y x z y z x æ ö æ ö æ ö = + + - + + - + + - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø
3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 9 9 x y y z x z xy yz xz - - - = + + +  1 1 1 9 x y z x y z Þ + +  + + Các bài toán dạng “ > <, ” thường dùng bài toán 1, các bài toán dạng “ , ” thường dùng bài toán 2. Khi dùng đến các bài toán này ta cần phải chứng minh rồi mới vận dụng. Phương pháp giải 6: (Phương pháp cơ bản về giá trị tuyệt đối )Đối với một số bài toán bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối sau. Bài toán 1. Chứng minh rằng: a) a b a b +  + . Dấu “=” xảy ra Û  ab 0 b) a b a b -  - . Dấu “=” xảy ra Û -  b a b   0 Bài toán 2. Chứng minh rằng nếu x y, 0 1 thì 2 x y x y y x y x +  +  Dấu “=” xảy ra Û = ± x y Từ đó suy ra, nếu m n, 0 > , ta có: 1) 2 m n n m +  2) 1 m 2 m +  . Dùng biến đổi tương đương, ta dễ dàng chứng minh được các bài toán này. Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng. Phương pháp giải 7: (Phương pháp vận dụng BĐT liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể vận dụng các bất đẳng thức liên hệ giữa tổng bình phương, bình phương của tổng, tích hai số. Bài toán 1.     2 2 2 2 4 x y x y xy +  +  Bài toán 2.       2 2 2 2 3 3 x y z x y z xy xz yz + +  + +  + + . Chú ý: Khi cần dùng đến các bài toán này, ta phải chứng minh rồi mới vận dụng. Phương pháp giải 8: (Phương pháp sử dụng các bài toán cơ bản về căn thức )Khi giải một số bài toán bất đẳng thức có chứa căn thức bậc hai, ta có thể vận dụng các bài toán cơ bản về bất đẳng thức chứa căn thức. Bài toán 1. Cho a b, 0 > . Chứng minh rằng: 2 a b ab +  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b = . (Bất đẳng thức Cô – si) Bài toán 2. Chứng minh rằng    2 2 2 2 ax by a b x y +  + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay bx = . (Bất đẳng thức Bu – nhi – a– cop–xki). Bài toán 3. Chứng minh rằng     2 2 2 2 2 2 a b x y a x b y + + +  + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay bx = . (Bất đẳng thức Min–cop–xki). Khi cần dùng đến Bài toán 2 và 3, ta phải chứng minh rối mới vận dụng. Riêng Bài toán 1 (bát đẳng thức Cô–si), chúng ta được phép áp dụng mà không cần phải chứng 1 2 ' ' ' ' , b b x x a a - + D - - D = = . Phương pháp giải 8: (Phương pháp vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ) Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, có khi ta phải vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Cần nhớ: Phương trình   2 ax bx c a + + = 1 0 0 2 D = - b ac 4
4 D < 0 : phương trình vô nghiệm D = 0 : phương trình có nghiệm kép: 2 b x a = - D > 0 : phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1 2 , 2 2 b b x x a a - + D - - D = = . Trường hợp b b = 2 ' thì 2 D = - ' ' b ac D <' 0 : phương trình vô nghiệm D =' 0: phương trình có nghiệm kép: b ' x a = - D >' 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt: B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Cho x , y , z , t là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 x y z t y z z t t x x y + + +  + + + + . Lời giải Đặt: x y z t A y z z t t x x y = + + + + + + + x y z t M x y y z z t t x = + + + + + + + y z t x N x y y z z t t x = + + + + + + + 4. x y z t y z t x M N x y y z z t t x x y y z z t t x Þ + = + + + + + + + = + + + + + + + + Ta có: y t x z y t x z N A x y y z z t t x + + + + + = + + + + + + +     1 1 1 1 4 4     4. y t x z y t x z x y z t y z t x x y z t x y z t æ ö æ ö + + = + + + + +  + = ç ÷ ç ÷ è ø è ø + + + + + + + + + + Chứng minh tương tự ta cũng có: A M+  4. Þ + + +  Þ  A M A N A 8 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z t = = = > 0 . Câu 2: Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x x z y y z  - + - =    0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 2 2 2 2 x y x y 4 P x z y z x y + + = + + + + + . Lời giải Áp dụng bất bẳng thức Côsi 3 2 2 2 2 2 2 z z . 2xz 2 x x x z x x x x z x z = -  - = - + +