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FSDM FES SMA-5 COURS MESURES ET PROBABILITÉS 2022-2023 http://saborpcmath.com/ SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
Cours Mesures et Probabilites ́ Filieres SMA(S5) ` Pr. Youssef AKDIM Universite Sidi Mohamed Ben Abdellah. ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es , ` Departement de Math ́ ematiques. ́ 2022/2023 Pr. Youssef AKDIM (Cours Mesures et Probabilites SMA(S5)) ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es, 2022-2023 ` 2022/2023 1 / 31 Programme Chapitre 1 : Familles d’ensembles et Espaces mesurables Chapitre 2 : Mesures Positives, Probabilites ́ Chapitre 3 : Applications mesurables, Variables aleatoires ́ Pr. Youssef AKDIM (Cours Mesures et Probabilites SMA(S5)) ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es, 2022-2023 ` 2022/2023 2 / 31
Chapitre 1 : Familles d’ensembles et Espaces mesurables Pr. Youssef AKDIM (Cours Mesures et Probabilites SMA(S5)) ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es, 2022-2023 ` 2022/2023 3 / 31 Plan 1 Espaces mesurables Construction d’anneaux et de tribus Semi-anneaux Tribu borelienne ́ Tribu borelienne de ́ Rn Topologie de R et limites superieure et inf ́ erieure ́ Pr. Youssef AKDIM (Cours Mesures et Probabilites SMA(S5)) ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es, 2022-2023 ` 2022/2023 4 / 31
Espaces mesurables Construction d’anneaux et de tribus 1.2.4 Construction d’anneaux et de tribus Remarque 1.11 1) Soient Ω un ensemble non vide, (E,E ) un espace mesurable et f : Ω → E une application quelconque. Alors : T = {f −1 (B) / B ∈ E } est une tribu sur Ω, appelee ́ tribu image reciproque ́ (ou tribu initiale) de E par f et gen ́ eralement not ́ ee ́ f −1 (E ). 2) Soient (Ω,T ) un espace mesurable, E un ensemble non vide et f : Ω → E. Alors : E = {B ⊂ E / f −1 (B) ∈ T } est une tribu sur E, appelee ́ tribu image directe (ou tribu finale) de T par f . 3) Notons que, la tribu finale n’a rien a avoir avec la famille ` {f(A) / A ∈ T } et cette derniere n’est pas n ` ecessairement une tribu. ́ Pr. Youssef AKDIM (Cours Mesures et Probabilites SMA(S5)) ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es, 2022-2023 ` 2022/2023 5 / 31 Espaces mesurables Construction d’anneaux et de tribus 1.2.4 Construction d’anneaux et de tribus Remarque 1.11 1) Soient Ω un ensemble non vide, (E,E ) un espace mesurable et f : Ω → E une application quelconque. Alors : T = {f −1 (B) / B ∈ E } est une tribu sur Ω, appelee ́ tribu image reciproque ́ (ou tribu initiale) de E par f et gen ́ eralement not ́ ee ́ f −1 (E ). 2) Soient (Ω,T ) un espace mesurable, E un ensemble non vide et f : Ω → E. Alors : E = {B ⊂ E / f −1 (B) ∈ T } est une tribu sur E, appelee ́ tribu image directe (ou tribu finale) de T par f . 3) Notons que, la tribu finale n’a rien a avoir avec la famille ` {f(A) / A ∈ T } et cette derniere n’est pas n ` ecessairement une tribu. ́ Pr. Youssef AKDIM (Cours Mesures et Probabilites SMA(S5)) ́ Faculte des Sciences Dhar Mahraz F ́ es, 2022-2023 ` 2022/2023 5 / 31