Tiêu đề 12. Các bài toán suy luận logic.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 12: CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN LOGIC Bài 1. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà nội năm học 2023-2024) Xét số nguyên n  100 thỏa mãn tồn tại tập hợp S gồm n số thực dương sao cho với mỗi phần tử x của tập S đều tồn tại 100 phần tử khác x của tập S có tích bằng x . Hỏi, n nhỏ nhất bằng nhiêu? Bài 2. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nam Định năm học 2023-2024) Trên một đường tròn cho 26 điểm phân biệt. Mỗi điểm đó được tô bởi một trong 5 màu: trắng, xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (trắng, xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cũng được tô cùng một màu (nâu hoặc đen). Bài 3. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nam Định năm học 2023-2024) 1. Cho bảng ô vuông 3x3 ( gồm ba dòng và ba cột). Người ta ghi tất cả các số thuộc tập hợp 1,2,3,4,5,6,7,8,n (n N;n 8)    vào các ô vuông của bảng, mỗi ô vuông ghi một số sao cho tổng các số trong mỗi dòng đều bằng nhau. a) Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thoả mãn yêu cầu bài toán khi n 9.  b) Tìm tất cả các số tự nhiên n thoả mãn yêu cầu bài toán. 2. Mỗi điểm trên mặt phẳng đều được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh được tô cùng màu. Bài 4. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2023-2024) Cho tập hợp X 1;2;3;...;20 gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20. Một tập hợp A chỉ chứa các phần tử thuộc X được gọi là “tập tốt” nếu không tồn tại hai phần tử ab, thuộc A sao cho a b  và b chia hết cho a. a) Hãy tìm một “tập tốt” có đúng 10 phần tử. b) Gọi A là một “tập tốt” bất kỳ có đúng 10 phần tử. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m lẻ và m  20, luôn tồn tại a thuộc A sao cho a chia hết cho m. Bài 5. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hải Phòng năm học 2023-2024) Để phục vụ cho giai đoạn cuối làm quảng trường Lễ hội Hoa Phượng đỏ của thành phố Hải Phòng, xe tải của bác An phải chạy 29 ngày liên tục. Mỗi ngày xe chạy ít nhất 1 chuyến, tổng số chuyến xe đã chạy là 48. Chứng minh trong mọi trường hợp, tổng số chuyến xe bác An đã chạy trong một số ngày liên tiếp là 28 chuyến. Bài 6. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Khánh Hòa năm học 2023-2024) Cho hình lập phương trong đó mỗi mặt tương ứng được ghi một số trong tập hợp 1;2;3;4;5;6 (số được ghi trên hai mặt bất kỳ là khác nhau). Hỏi có thể ghi số trên các mặt sao cho số trên mỗi mặt là ước của tổng bốn số trên các mặt bên cạnh nó? Vì sao? Bài 7. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Ninh Bảng A năm học 2023-2024) Trên bảng viết 2024 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, ..., 2023, 2024. Người ta thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số ab, bất kì trên bảng rồi lại viết lên bảng số mới có giá trị
ab a b    2 . Cứ tiếp tục làm như vậy cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số. Tìm số còn lại cuối cùng trên bảng. Bài 8. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Ninh Bảng B năm học 2023-2024) Một hộp bi có 100 viên. Hai bạn Hòa và Bình cùng chơi trò lấy bi ra khỏi hộp có luật chơi như sau: Mỗi lần, người chơi chỉ được lấy 1, 2 hoặc 3 viên ra khỏi hộp, ai là người lấy được những viên bi cuối cùng trong hộp sẽ là người chiến thắng. Giả sử Hòa là người thực hiện trước, theo em Bình sẽ thực hiện cách lấy bi như thế nào để chắc chắn giành chiến thắng? Bài 9. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Lạng Sơn năm học 2023-2024) Cho một hình vuông cạnh 62cm , trên hình vuông đó ta đặt bất kỳ 2024 điểm, chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2 cm chứa ít nhất 3 điểm trong 2024 điểm nói trên. Bài 10. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Buôn Mê Thuật năm học 2023-2024) Cho chín số nguyên dương 1 2 9 a a a , , ,  dều không có ước số nguyên tố nào khác 3,5 và 7 . Chứng minh rằng trong chín số đã cho luôn tồn tại hai số mà tích của hai số này là số chính phương. Bài 11. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nghệ An năm học 2023-2024) Trong phòng có 121 người, biết mỗi người quen với ít nhất 81 người khác. Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau. Bài 12. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Tiền Giang năm học 2023-2024) Trong một kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi của trường, nếu sắp xếp mỗi phòng thi 12 học sinh thì còn thừa một em, còn nếu giảm một phòng thi thì số học sinh được chia đều cho mỗi phòng. Hỏi có bao nhiêu học sinh tham dự kỳ thi, biết rằng mỗi phòng thi có không quá 24 học sinh? Bài 13. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Đăk Lăk năm học 2023-2024) Trong một hình tròn bán kính 46cm người ta đặt 2024 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1cm nằm trong hình tròn lớn mà không chứa điểm nào trong 2024 điểm đã cho. Bài 14. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Tây Ninh năm học 2023-2024) Trong đợt cắm trại chào mừng ngày thành lập Đoàn 26/3 có 20 bạn mang số áo từ 1 đến 20 nắm tay nhau tạo thành một vòng tròn để tham gia các trò chơi tập thể. Chứng minh luôn tìm được 5 bạn đứng liền kề với nhau mà tổng các số áo của họ lớn hơn 52. Bài 15. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Gia Lai năm học 2023-2024) Trong hộp có chứa 2024 viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu) trong đó có 675 viên bi màu đỏ, 657 viên bi màu xanh, 675 viên bi màu tím và 17 viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bi bất kì. Chứng minh rằng, trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp 122 viên bi bất kì thì kết luận trên của bài toán còn đúng không?
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Ta sẽ chứng minh n  104 là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn. Rõ ràng n  101 . Gọi 1   n x x là n phần tử của tập hợp S . Đặt P x x x  1 2 n . Xét các trường hợp sau. Trường hợp 1: 101 n  . Lúc này, ứng với mỗi i x thì tích của 100 phần tử còn lại trong S phải bằng i x . Suy ra 2 2 2 P x x x     1 2 n , vô lý. Trường hợp 2: n  102 . Lúc này, giả sử 1 2 100 1  i i i x x x x với 1 2 100 1     i i i , thì trong S còn một phần tử y nữa và 1 2 100 2 2 P y x x x x x y x x       1 1 1 102 i i i . Lại giả sử 1 2 100 102  j j j x x x x với 1 2 100 j j j     102 thì 2 P x z   102 với z S  nào đó. Suy ra 2 P x x  102 1 . Vậy 2 2 x x x x 102 1 1 102  nên x x 102 1  , vô lý. Trường hợp 3: n  103 . Lý luận tương tự như trên, ta cũng có 2 P x yz   1 với y z  và y z S ,  nào đó nên 2 P x x x  1 102 103 ; và 2 P x uv  103 với u v  và u v S ,  nào đó, nên 2 P x x x  103 1 2 . Suy ra 2 2 x x x x x x 103 1 2 1 102 103  , hay x x x x 103 2 102 1  , vô lý vì 103 102 x x   0 và 2 1 x x   0 . Bây giờ, ta sẽ chứng minh n  104 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn     52 51 1 1 2 51 52 2 ,2 , ,2 2 ,2 , ,2 ,2    S    
Lúc đó, tích các phần tử của S là 1 , và với mỗi x S  ta cần chỉ ra tồn tại a b c S    đều khác x sao cho 2 x abc 1 thì lúc đó 100 phần tử còn lại của S sẽ có tích bằng x . Xét  2 k x với k  1 , trường hợp k  1 được chứng minh tương tự.  Nếu k  3 thì chọn 1 1 2 , 2 , 2       k k a b c thì 2 x abc 1.  Nếu k  2 thì chọn 4 1 1 2 , 2 , 2   a b c    thỏa mãn.  Nếu k  1 thì chọn 2 3 3 2 , 2 , 2   a b c    thỏa mãn. Vậy n  104 thỏa mãn. Ta có điều phải chứng minh. Bài 2. Vì các điểm phân biệt nằm trên một đường tròn nên ba điểm bất kỳ luôn tạo thành một tam giác. Có 26 điểm được tô bằng 5 màu, do đó có ít nhất 6 điểm cùng màu. Giả sử có 6 điểm cùng màu đỏ là A B C D E F , , , , , . Nối 5 đoạn AB AC AD AE AF , , , , và tô bằng 2 màu nâu, đen và khi đó có ít nhất 3 đoạn cùng màu, giả sử AB AC AD , , được tô cùng màu đen. Xét tam giác BCD , xảy ra hai trường hợp: Trường hợp 1: Nếu ba cạnh BC BD DC , , được tô cùng màu nâu thì tam giác BCD có ba đỉnh cùng màu đỏ, ba cạnh cùng màu nâu (thoả mãn). Trường hợp 2: Nếu ba cạnh BC BD DC , , có ít nhất một cạnh màu đen, giả sử BC đen, khi đó tam giác ABC có ba đỉnh cùng màu đỏ, ba cạnh cùng màu đen (thoả mãn). Vậy luôn có một tam giác có ba đỉnh cùng màu và ba cạnh cùng màu. Bài 3. a) Hãy chỉ ra một cách ghi các số vào bảng thỏa mãn yêu cầu bài toán khi n 9.  b) Tổng các số được ghi trong bảng 3x3 là 1 2 3 ...8 n n 36       9 5 1 Hoặc 9 4 2 8 4 3 8 6 1 7 2 6 7 3 5