Tiêu đề Bài 04_Dạng 03. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất_GV.pdf ✅

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 1 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ bậc 2 / bậc 1 Để khảo sát hàm số 2 ax bx c y mx n + + = + , a m   0, 0 thì ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: Tập xác định \ n D m   = −    • Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số Tính đạo hàm ( ) 2 2 am x an x b n m c . 2 . . . y mx n + + −  = + . Tìm các điểm tại đó y  = 0 Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Lập bảng biến thiên, xác định chiều biến thiên và các điểm cực trị của hàm số • Bước 3: Cho thêm điểm và vẽ đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên Bài tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) 2 1 2 x x y x − − = − b) 2 2 1 x x y x + − = + c) 2 2 4 1 x x y x − + = − d) 2 2 1 3 x x y x + + = + Lời giải a) Tập xác định của hàm số: \ 2  . Sự biến thiên: 1 1 2 y x x = + + − . Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 4 3 1 2 1 2 x x y x x − +  = − − − = . Vậy ( ) 2 2 4 3 0 0 1 2 x x y x x − − +  =  =  = hoặc x = 3 . Trên các khoảng (−;1) và (3;+) y   0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng (1;2) và (2;3 , 0 ) y   nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này. Hàm số đạt cực đại tại x =1 với 1 CÐ y = ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với 5 CT y = . 2 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim ; lim lim lim 2 2 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x →− → → →+ →+ →+ − − − − − − − − = = = − = = = + − − − − . Tiệm cận: 2 2 2 2 1 1 lim lim 1 ; lim lim 1 x x x x 2 2 y x y x x x → → → → − − + +     = + + = − = + + = +         − − ( ) ( ) 1 1 lim 1 lim 0; lim 1 lim 0. x x x x 2 2 y x y x →+ →+ →− →− x x  − + = = − + =    −  −  =   BÀI TẬP TỰ LUẬN
2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 , tiệm cận xiên là đường thẳng y x = +1. Bảng biến thiên: Đồ thị: Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm 1 0; 2       . Ta có 2 1 1 5 0 0 2 2 x x y x x − − − =  =  = − hoặc 1 5 2 x + = . Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm 1 5 ;0 2   −     và 1 5 ;0 2   +     . Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. b) Tập xác định của hàm số: \{ 1} − . Sự biến thiên: Viết 2 1 y x x = − + ta có ( ) 2 0 1 2 1 x y + +  =  với mọi x −1. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (− −; 1) và (− + 1; ) . Hàm số không có cực trị.
GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 3 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI 2 2 2 2 1 1 2 2 lim lim lim ; lim lim lim 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x →− →− →− →+ →+ →+ + − + − + − + − = = = − = = = + + + + + Tiệm cận: 1 1 1 1 2 2 lim lim ; lim lim x x x x 1 1 y x y x x x →− →− →− →− − + + +     = − = + = − = −         + +     2 2 lim lim 0; lim lim 0. x x x x 1 1 y x x x x y →+ →+ →− →−     − = − = = − =     + +   −   Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x =−1 , tiệm cận xiên là đường thẳng y x = . Bảng biến thiên: Đồ thị : Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm (0; 2− ) Ta có 2 2 0 0 2 1 x x y x x + − =  =  = − + hoặc x =1.
4 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm (−2;0) và (1;0). Đồ thị hàm số nhận giao điểm I (− − 1; 1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng. c) Tập xác định của hàm số là \ 1 . Sự biến thiên: Ta có 2 2 4 5 2 1 1 1 x x y x x x − + = = + + − − Đạo hàm ( ) ( ) 2 2 5 5 2 10 2 0 2 0 x 1 1 2 y x x −  = − =  = − −  − = hoặc 2 10 2 x + = . Trên các khoảng 2 10 ; 2   −   −   và 2 10 ; 2   +   +   có y   0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng 2 10 ;1 2   −     và 2 10 1; 2   +     có y   0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Hàm số đạt cực cực đại tại 2 10 2 x − = và đạt cực tiểu tại 2 10 2 x + = . 2 2 2 1 4 2 2 4 lim lim lim x x x 1 1 1 x x x x y x x x →− →− →− − + − + = = = − − − ( ) ( ) 5 5 lim 2 1 lim 0; lim 2 1 lim 0 x x x x 1 1 y x y x →+ →+ →− →− x x − + = = −  + −     =  −  =  . Do đó x =1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y x = + 2 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Bảng biến thiên Đồ thị Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 4− ). Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.