Tiêu đề TACH DE HSG 6 CHU DE 4 SO CHINH PHUONG - PHAN 1.docx ✅

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 CHỦ ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: Nhận biết một số là số chính phương Bài 1: Tìm số nguyên tố 0abab sao cho abba là số chính phương Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 10109()abbaabbaab Do 9 là số chính phương nên ()ab là số chính phương. Mà 18ab nên 1;4ab Nếu 121;32;43;54;65;76;87;98:43absuyraabsuyraab Nếu 451;62;73;84:73absuyraabsuyraab Vậy 43;73ab Bài 2: Tìm  *nℕ để 22006n là số chính phương. Trích đề HSG huyện Lập Thạch năm 2015 - 2016 Lời giải Giả sử 22006n là số chính phương khi đó ta đặt: 222006naaℤ 22 2006an 20061anan Mà 2anann chia hết cho 2 . an và an có cùng tính chẵn lẻ. +) TH1: an và an cùng lẻ nên anan lẻ, trái với 1 . +) TH2: an và an cùng chẵn nên anan chia hết cho 4 , trái với 1 . Vậy không có n thỏa mãn 22006n là số chính phương. Bài 3: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho 1;21;51nnn đều là số chính phương? Trích đề chọn HSG Trực Ninh năm 2017-2018 Lời giải Do 1n là số chính phương nên khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1 . Nếu 13n⋮ thì n chia cho 3 dư 2 nên 21n chia cho 3 dư 2 , vô lý. Do đó 1n chia cho 3 sẽ dư 1 nên 3n⋮ Do 21n là số chính phương lẻ nên 21n chia cho 8 dư 1 , suy ra 28n⋮ , từ đó 4n⋮ Do đó 1n là số chính phương lẻ nên 1n chia cho 8 dư 1 , suy ra 8n⋮ Ta thấy 3,8nn⋮⋮ mà 3,81 nên 24n⋮ mà n là số nguyên dương Với 24n thì 2221255;21497;5112111nnn Vậy 24n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài Bài 4: Tìm số nguyên tố ab0ab biết abba là số chính phương Trích đề chọn HSG Nga Sơn năm 2017-2018 Lời giải Ta có: 9abbaab
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Do ,ab là các chữ số, ab là số nguyên tố, nên 3b . Do đó 9.ab là số chính phương khi 1;4ab +) Với 1ab mà ab là số nguyên tố nên ta được số 43ab +)Với 4ab mà ab là số nguyên tố nên ta được số 73ab Vậy 43;73ab Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho : 1!2!3!.....!n là số chính phương. Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Xét : 211!1n 2n nên 1!2!3 3n nên 21!2!3!93 4n nên 1!2!3!4!33 Với 4n thì !1.2.3.......nn là một số chẵn. Nên 1!2!......!33n cộng với một số chẵn bằng số có chữ số tận cùng là 3 nên không là chính phương Vậy 1,3nn thì thỏa đề Bài 6: Cho 2320222023555...55M có phải là số chính phương không? Vì sao? Trích đề HSG THCS Quỳnh Thiện năm 2022 - 2023 Lời giải Vì mỗi số hạng của M đều chia hết cho 5 nên 5M⋮ Nhưng M không chia hết cho 25 ( do trong tổng chỉ có duy nhất 1 số hạng là 5 không chia hết cho 25). Do đó M không phải là số chính phương. Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của 147 Trích đề HSG huyện Thanh Miện năm 2021 - 2022 Lời giải Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 10009999n Theo bài ra n là bội của 147 nên 2147.7.3nkk Do n là số chính phương nên khi phân tích n ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa của các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra 3k⋮ 3km22 7.3.441nmm 10004419999m 222m Để n là số chính phương thì m phải là số chính phương nên 4;9;16m Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764;3969;7056 Bài 8: Cho phân số 61 32 x C x    . Tìm xℤ để C có giá trị là số nguyên và 511Mx có giá trị là số chính phương. Trích đề HSG huyện Bình Giang năm 2021 - 2022 Lời giải Để C có giá trị là số nguyên thì 6–1 32xx⋮
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2  232 532xx⋮  532x⋮ (do 23232xx⋮ ) Mà xZ 32(5)5;1;1;5xU  37;3;1;3x Mà xZ 1;1x Với 1x ta có 5.–1116M không là số chính phương. Với 1x ta có 5.11116M là số chính phương. Vậy 1x thỏa mãn đề bài. Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương Bài 1: Cho 22011125.1666E . Chứng minh rằng 25E là một số chính phương. Trích đề HSG trường THCS Yên Phong năm 2021 - 2022 Lời giải 22011125.1666E Đặt 220111666A 23201266666A 20126561AAA 2012 61 5A  2012 61 125. 5E  2012 25(61) 20122525.6125E201225.62210065.6210062.6 Vậy 25E là một số chính phương. Bài 2: M có là một số chính phương không, nếu: 135.....21Mn (với ,0)nnℕ . Trích đề HSG huyện Lương Tài năm 2015 -2016 Lời giải 135...21,0Mnnnℕ Tính số số hạng: 211:21nn Tính tổng: 135.....21Mn22211.:22:2nnnn Vậy M là số chính phương. Bài 3: Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên có phải là một số chính phương không? Tại sao? Trích đề HSG huyện Triệu Sơn năm 2021-2022 Lời giải Ta có n lẻ nên ta đặt 21;nkkℕ
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 2 Tổng của n số tự nhiên lẻ đầu tiên là: 135...21Sk Tổng S có số số hạng là: 211 11 2 k k    2 2211121 1 22 kkk Sk   Vậy S là số chính phương. Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 735 thì được một số chính phương. Trích đề HSG TP Bắc Giang năm 2021-2022 Lời giải Gọi số tự nhiên cần tìm là n , ta có: 2735na ( a tự nhiên) hay 22735na . Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên 23.5.*nkkN Nếu 3k thì 135,nn có nhiều hơn hai chữ số (loại). Vậy 1k hoặc 2k . Khi đó hai số cần tìm là 15 và 60 . Bài 5: Tìm số nguyên tố ,pq sao cho 223ppqq là số chính phương. Trích đề HSG huyện Đông Hưng năm 2021-2022 Lời giải Với các số nguyên tố ,pq , ta có 223ppqq là số chính phương. Đặt 2223ppqqk ( kℕ ) 22pqpqk 22kpqpq kpqkpqpq Ta xét ba trường hợp : TH1 : 1;kpqkpqpq 221pqpq 221pqpq 2225pqp 225pq Vì ,pq là các số nguyên tố nên : 21 25 25 21 p q p q           3 7 7 3 p q p q           .