Tiêu đề 003 جبر المصفوفات.pdf ✅

الجبر الخطي الجلسة الثالثة ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ أ.د. 1 معاذ عبد المجيد 23S جرب املصفوفات 2 قوى مصفوفة مربعة المصفوفات المتناظرة العمليات األولية السطريه على المصفوفة المصفوفات القلوبه تفريق المصفوفات إلى LU تطبيق المصفوفات )التشفير( ************************************************************************ Powers of a Matrix مربعة مصفوفة قوى قوة المصفوفة من الدرجة الثانية، والجداء �� نسمي الجداء �� 2 = AA 3 = AAA = A 2A = AA2 مكعب �� ... ⏟ �AA� = �� مصفوفة. وهكذا �� �� مرة و �� . وخصوصا �� ُ 0 = In . 1 = A خواص القوى: A kA r = A k+r ⇒ A k = A rA k−r ; ∀ k, r (A k ) r = A kr ، فإن �� إذا كان �� k = O . k+r = O ; ∀r ≥ 1 قاعدة: لما كان جداء مصفوفتين قطريتين من نفس المرتبة هو مصفوفة قطرية من نفس المرتبة، تنتج بضرب العناصر المتقابلة في القطرين، فإن D 2 = DD = diag[d1 2 , d2 2 , ... , dn 2 ] ⇒ D k = diag[d1 k , d2 k , ... , dn k ] ومنه: I k = (diag[1,1, ... ,1]) k = diag[1 k , 1 k , ... , 1 k ] = diag[1,1, ... ,1] = I مثال :8 أوجد حاصل قوى المصفوفة : A = [ 1 1 3 5 2 6 −2 −1 −3 ] 3×3 الحل: A 2 = AA = [ 1 1 3 5 2 6 −2 −1 −3 ][ 1 1 3 5 2 6 −2 −1 −3 ] = [ 0 0 0 3 3 9 −1 −1 −3 ] A 3 = A 2A = [ 0 0 0 3 3 9 −1 −1 −3 ][ 1 1 3 5 2 6 −2 −1 −3 ] = O3 . إذن �� k = O ; ∀ k ≥ 3 حيث ] = �� 2023 مثال :9 أوجد �� −1 0 2 1 . ] الحل: A 2 = [ −1 0 2 1 ][ −1 0 2 1 ] = [ 1 0 0 1 ] = I2 �� = 3 ومنه، فإن �� 2 �� = ��2�� = �� و
الجبر الخطي الجلسة الثالثة ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ أ.د. 2 معاذ عبد المجيد 23S A 4 = A 2A 2 = I2I2 = I2 2 2�� = وهكذا A k = { A ; k is odd I2 ; k is even . إذن �� 2023 = A Transpose of a M. مصفوفة منقول �� لتكن (��)��×�M� ∋ �� نسمي المصفوفة �� (��)��×�M� ∋ التي تنتج بتبديل أسطر A بأعمدتها منقول A، أي إذا ��×��[ ، فإن �� �i� كان ��] = �� ��×��[ حيث �ja� = �i�̌��. �i�̌��] = �� 6 −4 −2 مثال :10 إذا كان ] = �� 0 2 −2 ] 2×3 ] = �� فإن �� −2 0 −4 2 6 −2 ] 3×2 . ��×��[ إنهوا متنوا رة إذا كوان �i� المصففوفة المتنفا ر Matrix Symmetric: نقوول عون المصوفوفة المربعوة ��] = �� ، وهذا يكافئ أن �ia� = �ja� من أجل جميع قيم j , i. أي أن عناصرها المتنا رة بالنسبة للقطر متساوية. �� T = A مثال :11 بين أي من المصفوفات التالية C ,B ,A متنا رة؟ A = [ 1 1 2 −3 3 −2 ] 3×2 , B = [ −1 −1 3 −1 2 −3 −3 −3 3 ] 3×3 , C = [ 1 −1 3 −1 0 −3 3 −3 3 ] 3×3 متنا رة بينما كالً A ,B غير متنا رة، لماذا؟ نالح أن المصفوفة C من . وهووذا يكووافئ أن �� المصفففوفة التخالفيففة Matrix symmetric -Skew: هووي مصووفوفة مربعووة تحقوو ��− = �� من أجل جميع قيم j ,i. أي أن عناصرها المتنا رة بالنسبة للقطر متسواوية بالقيموة مختلفوة بارةوارة، �ia�− = �ja� وان عناصر القطر فيها أصفار. مثال :12 بين أي من المصفوفات التالية C ,B ,A متنا رة تخالفية؟ A = [ 1 −2 3 2 −3 2 −3 −2 0 ] 3×3 , B = [ 0 −1 3 1 0 −3 −3 −3 0 ] 3×3 , C = [ 0 1 −2 −1 0 3 2 −3 0 ] 3×3 هي مصفوفة متنا رة تخالفية بينما كالً B و A ال تمثالن مصفوفات متنا رة تخالفية لماذا؟ نالح أن C من خواص منقول مصفوفة: 1 ف ��) T ) T = A (cA) - 2 T = cA T ، حيث �� عنصر من الحقل ��. (AB) -3 T = B TA T (A + B) -4 T = A T + B T (A -5 k ) T = (A T ) k حيث k أي عدد طبيعي و �� مصفوفة مربعة. �� + �� متنا ر . -6 أيا تكن المصفوفة المربعة A فإن المصفوفة �� -7 أيا تكن المصفوفة A فإن كل من المصفوفتين �� �� و �A� �� T متنا ر . اثبات صحة الخاصتين الخاصتين 6 و :7
الجبر الخطي الجلسة الثالثة ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ أ.د. 3 معاذ عبد المجيد 23S �� + �� متنا ر ، نثبت أنها تساوي منقولها: رثبات صحة الخاصة 6 أي أن المصفوفة �� (A T + A) T = (A T ) T + A T = A + A T �� ورثبات صحة الخاصة 7 أي أن المصفوفة �� �� متنا ر ، نثبت أنها تساوي منقولها: (A TA) T = A T (A T ) T = A TA مثال :13 نتحق من صحة الخاصتين 6 و :7 من أجل الخاصة ،6 إذا كانت ] = �� 1 −1 2 2 −3 1 −3 −2 0 ] 3×3 ، فإن A + A T = [ 1 −1 2 2 −3 1 −3 −2 0 ] + [ 1 2 −3 −1 −3 −2 2 1 0 ] = [ 2 1 −1 1 −6 −1 −1 −1 0 ] ومن أجل الخاصة ،7 إذا كانت ] = �� 1 −1 2 3 3 0 ] 3×2 ، فإن AA T = [ 1 −1 2 3 3 0 ] 3×2 [ 1 2 3 −1 3 0 ] 2×3 = [ 2 −1 3 −1 13 6 3 6 9 ] 3×3 A TA = [ 1 2 3 −1 3 0 ] 2×3 [ 1 −1 2 3 3 0 ] 3×2 = [ 14 5 5 10] 2×2 -3 العمليات األولية السطريه على المصفوفة Operations Row Elementary نقصد بالتحويالت أو العمليات األولية تلك العمليات التي تجريها على األسطر وسنحاول ترميز هذه العمليات بداللة r وذلك الختصار الكتابة على الةكل التالي: .ri ↔ rj 1 و المبادلة بين أي سطرين في مصفوفة: .kri 2 و ضرب أي سطر من أسطر المصفوفة بعدد غير صفري 3 و ضرب سطر بعدد وإضافته إلى سطر آخر �rk� + �r�. مالحظة: واضح أن اجراء عملية أولية سطرية )أو أكثر( على مصفوفة يغيّرها تماماً ولكن ال يغير من مرتبتها. مالحظة: يمكن إجراء نفس هذه العمليات على األعمدة بدال من األسطر ونعوض في العبارات السابقة كل كلمة سوطر بعمود وكل r بو C، وتسمى هذه التحويالت العمليات األولية العمودية )لكن هذه العمليات نادرة االسوتخدام فوي الجبور الخطي(. ندعو المصفوفة B التي نحصل عليها من المصفوفة A بإجراء تحويالت أولية بالمصفوفة المكافئة لو A. وهي بالطبع ال تساويها. الشكل المدرج لمصفوفة form Echelon An نسمي أول عنصر غير صفري في كل سطر عنصر زاوية - رائد (element Leading(.
الجبر الخطي الجلسة الثالثة ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ أ.د. 4 معاذ عبد المجيد 23S ونقول عن مصفوفة إنها مصفوفة مدرجة إذا حققت الةرطين: -1 األسطر الصفرية )في حال وجودها( في أسفل المصفوفة. -2 عنصر الزاوية في كل سطر يقع على يسار جميع عناصر الزاوية التي تقع تحته، أي أن جميع العناصر التي تحت عنصر الزاوية أصفار. أصوفار. �i� أي أنها لو كانت مربعة فان المدرجة هي مصفوفة مثلثيه عليا، أو أن جميع العناصر التي تحت العنصر �� إذا كان فمثالً A = [ 2 0 1 0 0 5 0 0 0 ],B = [ 4 3 0 1 0 −1 ], C = [ 1 2 3 4 0 0 6 0 0 8 0 1 ],D = [ 2 1 −3 0 0 0 0 0 4 0 −3 0 ], E = [ 1 2 3 0 1 6 0 0 0 4 0 1 ], O = [ 0 0 0 0 ],I2 = [ 1 0 0 1 ] فإن E وA و 2�� و O مصفوفات مدرجة بينما B و C و D ليست مصفوفات مدرجة ولكون يمكون ردهوا إلوى ةوكل مدرج. مثال،ً C بالتبديل بين السطر الثاني والثالث. سنبين فيما يلي الخطوات التي سنتبعها لتحويل مصفوفة إلى الةكل المدرج: للصفر ونن ر إلوى األعوداد الواقعوة نأخذ العنصر الموجود في السطر األول والعمود األول بةرط أن يكون مغايراً تحته في نفس العمود إذا كانت من مضاعفاته فعندئذ بتحويالت أولية مناسبة على السطر األول يمكون جعلهوا أصوفاراً ٍو للواحد ألن جميع األعداد هوي مون أما إذا كانت ليست من مضاعفات هذا العدد فنحاول بتحويالت مناسوبة جعله مسا مضاعفاته ثم نجعل األعداد الواقعة تحته في نفس العمود مساوية للصفر باالعتماد على التحويالت اآللية ونكورر هوذه الخطوة على العنصر الواقع في السطر الثاني والعموود الثواني وهكوذا العنصور الموجوود فوي السوطر الثالوث والعموود الثالث حتى انتهاء جميع األسطر إن الةكل الناتج هو الةكل المدرج. يجب االنتباه الى ان مرتبة المصفوفة ال تتغير بعد إجراء العمليات األولية السطرية. وستتم إعادة هذه الخطوات على المثال التالي. مثال :1 رد المصفوفة التالية إلى الةكل المدرج: ] = �� 2 8 2 1 7 −1 −2 −2 1 . ] الحل: A = [ 2 8 2 1 7 −1 −2 −2 1 ] ⟶ r2 − 1 2 r1 r3 + r1 [ 2 8 2 0 3 −2 0 6 3 ] ⟶ r3 − 2r2 [ 2 8 2 0 3 −2 0 0 7 ] مثال :2 رد المصفوفة التالية إلى الةكل المدرج: A = [ 0 −1 −1 −3 1 2 4 7 5 0 10 5 ] 3×4