Tiêu đề Bài 2.2_Hệ Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn_CTST_Vở bài tập.doc ✅

BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Khái niệm hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn ,.xy Mỗi nghiệm chung của tất cả các bất phương trình đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Trên mặt phẳng toạ độ ,Oxy tập hợp các điểm 00;xy có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ bất phương trinh đó. 2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ ,Oxy ta thực hiện như sau: - Trên cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình của hệ. - Phần giao của các miền nghiệm là miền nghiệm của hệ bất phương trình. Chú ý: Miền mặt phẳng toạ độ bao gồm một đa giác lồi và phần nằm bên trong đa giác đó được gọi là một miền đa giác. 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Faxby trên một miền đa giác Hệ bất phương trình giúp ta mô tả được nhiều bài toán thực tế để tìm ra cách giải quyết tối uu, các bài toán này thường được đưa về việc tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức Faxby trên một miền đa giác. Ví dụ. Một người dùng ba loại nguyên liệu ,,ABC để sản xuất ra hai loại sản phẩm P và Q . Để sản xuất 1 kg mỗi loại sản phẩm P hoặc Q phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau. Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau: Biết 1 kg sản phẩm P lãi 3 triệu đồng và 1 kg sản phẩm Q lãi 5 triệu đồng. Hãy lập phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Phương pháp giải Để giải bài toán tìm phương án tối ưu ở trên, ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Đặt biến số ,xy cho các đối tượng cần tìm. Ví dụ. Đặt x là số kilôgam sản phẩm P và y là số kilôgam sản phẩm Q cần sản xuất. Bước 2. Lập các hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc. Ví dụ. 22105 242 241226 00 00            xyxy yy xyxy xx yy
Bước 3. Xây dựng hàm mục tiêu cho giá trị mà ta muốn đạt giá trị tối ưu. Bước 4. Biễu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trinh (1) trên hệ trục toạ độ Oxy ta được một đa giác. Tìm toạ độ các đỉnh của đa giác. Ví dụ. Miền nghiệm là ngũ giác ,OCBAD trong đó (0;0);(0;2);(2;2)OCB ; Bước 5. Do người ta đã chứng minh được F đạt GTLN hoặc GTNN tại một trong các đỉnh của đa giác nên ta chỉ cần tính các giá trị của hàm mục tiêu F tại các đỉnh của đa giác. Tìm ra đỉnh tại đó F đạt GTLN hoặc GTNN. Toạ độ của đỉnh này là phương án tối ưu cần tìm. Ví dụ. Tính giá trị của F tại các đỉnh: Tại (0;0):3.05.00;OF Tại (0;2):3.05.210CF ; Tại (2;2):3.25.216;BF Tại (4;1):3.45.117AF ; Tại (5;0):355015DF . Tại đỉnh (4;1),AF đạt giá trị lớn nhất là 17 . Bước 6. Nêu kết luận dựa trên ngôn ngữ thực tế của bài toán. Ví dụ. Vậy phương án sản xuất tối ưu là làm ra 4 kg sản phẩm P và 1 kg sản phẩm Q . Khi đó sẽ có lãi cao nhất là 17 triệu đồng. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng toạ độ, ta gọi tập hợp các điểm có toạ độ thoả mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. - Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng toạ độ, miền còn lại không bị gạch (tô đậm) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức (,)Txyaxby với (;)xy nghiệm đúng một hệ
bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước. - Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm S là đa giác. - Bước 2: Tính giá trị của F tương ứng với (;)xy là tọa độ của các đỉnh của đa giác. - Bước 3: Kết luận: · Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. · Giá trị nhỏ nhất của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau 20 330. xy xy     Lời giải Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình sau: 0 2360. 210 xy xy xy       Lời giải Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình 33()0xyxy . Lời giải
Ví dụ 4: Cho biểu thức ;2Fxyxy trên miền xác định bởi hệ 290 0 10 xy xy y       . Tìm giá trị lớn nhất của F Lời giải 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Cho hệ bất phương trình 320 210 xy xy     . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. (0;1)M B. (1;1)N C. (1;3)P D. (1;0)Q Lời giải Câu 2: Cho hệ bất phương trình 2510 250 10 xy xy xy       . Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình? A. (0;0)O B. (1;0)M C. (0;2)N D. (0;2)P Lời giải Câu 3: Miền nghiệm của hệ bất phương trình 10 23 0 13 2 22 xy x y x         chứa điểm nào trong các điểm sau đây? A. (0;0)O B. (2;1)M C. (1;1)N D. (5;1)P Lời giải