Tiêu đề Đề số 14.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 14 Câu 1 (2, 0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức 21 112121 xxxxxxxx P xxxxxx     với 1 0;1;. 4xxx 2) Cho P(x) là đa thức bậc 4 thỏa mãn P(-2) = 0 và ()(2)(2)(31)PxPxxxx Xác định đa thức P(x). Câu 2 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 2514(1).xxxx 2) Giải hệ phương trình: 32 22 349 8817 xxy xxyyyx     Câu 3 (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn phương trình: 223214(2)0.xyxyy 2) Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a – b là số nguyên tố và 2 3cabbcca . Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương. Câu 4 (2,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC không cân, có BC = a, CA = b, AB = c. I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC. D là hình chiếu vuông góc của I lên BC. Chứng minh rằng: cotcot 22 a ID BC  và ()cot()cot()cot0. 222 CAB abbcca 2) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N là các điểm thay đổi trên cạnh BC, CD sao cho MANMABNAD , P và Q lần lượt là các giao điểm của AN và AM với BD, I là giao điểm của MP và QN.
a) Chứng minh AIMN b) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN khi M, N thay đổi trên BC và CD. Câu 5 (0,5 điểm) Trong hộp có chứa 2024 viên bị màu (mỗi viên bị chỉ có đúng một màu) trong đó có 675 viên bị màu đỏ, 657 viên bi màu xanh, 675 viên bị màu tím và 17 viên bị còn lại là các viên bị màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bất kì. Chứng minh rằng, trong số các viên bị vừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bị cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp 122 viên bi bất kì thì kết luận trên của bài toán còn đúng không? Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn thỏa mãn: 222 220.abcabbcca Chứng minh: 2222 2223. () abccab ababcab    ĐÁP ÁN Câu 1: 1) Ta có: 21 112121 (21)(1)(1)(1)(1) (1)(1)(1)(1)(21)(1)21 xxxxxxxx P xxxxxx xxxxxxxx P xxxxxxxx         (21)(1)1 . (1)(1)12121 (1) . 12121 . 1 xxxxxx P xxxxxx xxxx P xxxx xx P xx           Vậy . 1 xx P xx    với 1 0;1;. 4xxx 2) Xét x = 0, ta có P(0) − P(−2) = 0 hay P(0) = P(−2) = 0. Xét x = −2, ta có P(−2) − P(−4) = 0 hay P(−4) = P(−2) = 0. Từ đó, ta thấy P(x) nhận x = 0, x = −2 và x = −4 là nghiệm.
Vì P(x) là đa thức bậc bốn, do đó, P(x) = x(x + 2)(x + 4)(ax + b) (∗). Xét x = 1 thì P(1) − P(−1) = 12, thay vào (*), ta có: 15(a + b) + 3(−a + b) = 12 hay 12a + 18b = 12 hay 2a + 3b = 2 (1) Xét x = 2 thì P(2) − P(0) = 56, thay vào (*), ta có: 48(2a + b) = 56 hay 2a + b = 7 6 (2) Từ (1) và (2) suy ra 35 ; 812ab Vậy 35 ()(2)(4) 812Pxxxxa    Câu 2: 1) 2514(1).xxxx (1) ĐKXĐ: 0x Với điều kiện 0x thì hai vế của phương trình (1) không âm, do đó phương trình (1) tương đương 423232 432 25110102163216 65610(2) xxxxxxxx xxxx   Vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (2), chia cả hai vế của phương trình (2) cho 2x , ta được 2 2 2 2 61 650 11 650 xx xx xx xx      Đặt 1 xt x thì 22 2 1 2xt x phương trình trên trở thành 2 2650tt hay 2670tt Suy ra t = −1 hoặc t = 7. Xét t = −1, tức là 21 110()xxxvn x Với t = 7, tức là 21735 7710() 2xxxxtm x  
Vậy phương trình có nghiệm 735 2x  . Cách 2: Phương trình (1) tương đương với 2 (1)34(1)xxxx Đặt 1,(0,0)xaxbab , phương trình trên trở thành 22 34 ()(3)0 abab abab   Suy ra a = b hoặc a = 3b. Với a = b, tức là 2 13 1100 24xxxxx    (vô nghiệm) Với a = 3b, tức là 13xx , bình phương hai vế, ta có 2 710xx suy ra 735 2x  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm 735 2x  2) 32 22 349(1) 8817(2) xxy xxyyyx     Lấy (1) + 3.(2), ta được 3222 32 338493(817) (1)3(1)24(1)48(1)0 xxyxxyyyx xyxyxx   22 22 22 (1)(1)324480 (1)(1)3(4)0 10   (1)3(4)0 xxyy xxy x xy         Với x + 1 = 0 thì x = −1, thay vào (1) ta được y = ±4 (thỏa mãn) Với 22  (1)3(4)0xy thì x = -1, y = 4 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm (;){(1;4);(1;4)}.xy Câu 3: