Tiêu đề Chương 7_Bài 2_ Đề bài_Toán 9_CD.pdf ✅

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng 2 ax bx c + + = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a  0 . Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn? Đối với những phương trình bậc hai một ẩn đó, xác định hệ số a của 2 x , hệ số b của x , hệ số tự do c . a) 2 2 5 3 0 x x − + = . b) 2 0 8 6 0 x x + + = . c) 2 3 8 0 x − = . Lời giải a) Phương trình 2 2 5 3 0 x x − + = là phương trình bậc hai ẩn x và có a b c = = − = 2, 5, 3 . b) Phương trình 2 0 8 6 0 x x + + = không phải là phương trình bậc hai một ẩn vì a = 0 . c) Phương trình 2 3 8 0 x − = là phương trình bậc hai ẩn x và có a b c = = = − 3, 0, 8. 2. Giải phương trình Nhận xét: Cho mn, là hai số thực. Ta có thể giải phương trình 2 ( ) x n m − = như sau: - Khi m  0 , ta có: 2 ( ) x n m − = x n m − = hoặc x n m − = − x n m = + hoặc x n m = − Như vậy, phương trình có hai nghiệm là 1 x n m = + và 2 x n m = − . - Khi m 0 = , phương trình có nghiệm 1 2 x x n = = (nghiệm kép). - Khi m  0 , phưởng trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải phương trình: ( ) 2 x − = 1 3 . Lời giải Ta có: 2 ( 1) 3 x − = x − =1 3 hoặc x − = − 1 3 1 x = +1 3 hoặc 2 x = −1 3 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 x = +1 3 và 2 x = −1 3 . - Xét phương trình ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 và biệt thức 2  = − b ac 4 . - Nếu  0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; . 2 2 b b x x a a − +  − −  = =
- Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2 b x x a − = = . - Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải các phương trình: a) 2 2 3 0; x x − − = b) 2 − + − = 3 5 0; x x c) 2 9 6 1 0 x x + + = Lời giải a) Phương trình có các hệ số a b c = = − = − 2, 1, 3 , ( ) ( ) 2  = − − − =  1 4.2. 3 25 0. Do  0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: ( ) ( ) 1 2 1 25 1 25 3 ; 1. 2.2 2 2.2 x x − − + − − − = = = = − b) Phương trình có các hệ số a b c = − = = − 3, 1, 5, ( ) ( ) 2  = − − − = −  1 4. 3 . 5 59 0. Do  0 nên phương trình đã cho vô nghiệm. c) Phương trình có các hệ số a b c = = = 9, 6, 1, 2  = − = 6 4.9.1 0. Do = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép 1 2 6 1 . 2.9 3 x x − − = = = Nhận xét: Xét phương trình ( ) 2 ax bx c a + + =  0 0 với b b = 2  và 2  = −   b ac . - Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; . b b x x a a − +  − −      = = - Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép 1 2 b x x a −  = = . - Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm. Công thức nghiệm vừa viết trên đây được gọi là công thức nghiệm thu gọn. Ví dụ 4. Giải các phương trình: a) 2 3 4 2 0; x x − − = b) 2 − + − = 16 24 9 0 x x ; c) 2 3 2 9 0 x x − + = . Lời giải a) Phương trình có các hệ số a b c = = − = − 3, 4, 2 . Do b =−4 nên b =−2 . Ta có: ( ) ( ) 2  = − − − =   2 3. 2 10 0 . Do   0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: ( ) ( ) 1 2 2 10 2 10 2 10 2 10 ; . 3 3 3 3 x x − − + − − − + − = = = = b) Phương trình có các hệ số a b c = − = = − 16, 24, 9 . Do b = 24 nên b =12 . Ta có: ( ) ( ) 2  = − − − =  12 16 . 9 0 . Do  = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép 1 2 12 3 16 4 x x − = = = − .
c) Phương trình có các hệ số a b c = = − = 3, 2, 9 . Do b =−2 nên b =−1. Ta có: ( ) 2  = − − = −   1 3.9 26 0 . Do   0 nên phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 5. Giải phương trình: 2 2 3 4 2 2 8 x x x x − − = + − . Lời giải Chuyển các số hạng ở vế phải của phương trình sang vế trái, ta nhận được phương trình sau: 2 2 2 3 4 2 2 8 0 hay 5 6 0. x x x x x x − − − − + = − + = Ta giải phương trình: 2 x x − + = 5 6 0 . Phương trình trên có các hệ số a b c = = − = 1, 5, 6 , ( ) 2  = − − =  5 4.1.6 1 0. Do  0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: ( ) ( ) 1 2 5 1 5 1 3; 2. 2.1 2.1 x x − − + − − − = = = = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1 2 x x = = 3; 2 . 3. Ứng dụng của phương trình bậc hai một ẩn Ví dụ 6. Bác Nam muốn uốn một tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật với bề ngang là 32 cm thành một máng dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông như Hình 7 vởi 0 16  x . Bác Nam muốn diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước bằng 2 120 cm . a) Thiết lập phương trình bậc hai ẩn x biểu thị diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước. b) Tìm chiều cao của máng dẫn nước. Lời giải a) Mặt cắt ngang của máng dẫn nước có kích thước là x cm( ) và 32 2 cm − x ( ) . Do đó, diện tích mặt cắt ngang là: ( ) ( ) 2 32 2 . cm − x x . Để diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước bằng 2 120 cm thì (32 2 . 120 − = x x ) hay ta có phương trình ẩn x biểu thị diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước là: ( ) 2 2 − + − = − + = 2 32 120 0 hay 16 60 0 1 x x x x b) Phương trình (1) có các hệ số a b c = = − = 1, 16, 60 . Do b = −16 nên b =−8 . Ta có: ( ) 2  = − − =   8 1.60 4 0 . Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 1 2 8 4 8 4 10; 6 1 1 x x − − + − − − = = = =
(thoả mãn điều kiện 0 16  x ). Vậy chiều cao của máng dẫn nước là 10 cm hoặc 6 cm . Nhận xét: Để giải bài toán trên bằng cách lập phương trình bậc hai, ta có thể làm như sau: Bước 1. Lập phương trình bậc hai - Chọn ẩn số và đặt điều kiện cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình bậc hai biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng Bước 2. Giải phương trình bậc hai Bước 3. Kết luận - Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn, nghiệm nào không thoả mãn điều kiện của ẩn. - Đưa ra câu trả lời. Ví dụ 7. Bác Hoa gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng. Sau kì hạn 12 tháng, tiền lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên là 113635600 đồng. Tìm lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng. Lời giải Gọi lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là x%/ năm ( 0) x  . Số tiền bác Hoa có được sau khi gửi tiết kiệm 12 tháng đầu tiên là: 100 100. 100 1 100 100 x x   + = +     Số tiền bác Hoa có được sau khi gửi tiết kiệm 24 tháng là: 100 1 100 1 100 100 100     x x x + + +          =100 1 1 100 100     x x     + +     2 100 1 100   x = +     (triệu đồng) Vì sau 24 tháng gửi tiết kiệm bác Hoa có tổng số tiền là 113635600 đồng nên ta có phương trình: 2 1 2 100 1 113,6356 hay (100 ) 113,6356 100 100 x x     + = + =   tức là 2 (100 ) 11363,56. + = x Giải phương trình trên với x  0 , ta có: 100 11363,56 + =x 100 106,6 + =x x = 6,6 (thỏa mãn điều kiện x  0 ) Vậy lãi suất tính theo năm của ngân hàng đó là 6,6% /năm. 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Ví dụ 8. Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): 2 3 4 7 0 x x − − =