Tiêu đề 1_1_VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN.pdf ✅

Đ Ể KHÔNG M ỘT AI BỊ B Ỏ L ẠI PHÍA SAU [VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN] MÔN TOÁN – KHỐI 12  TAILIEUTOAN.VN  ZALO: 0386.117.490 1 BÀI 1. VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔN GIAN KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG 1. Vectơ • Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Các kí hiệu thường dùng về vectơ là a b u AB MN , , , , ,... • Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B có kí hiệu: AB . • Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó. • Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó, thường được kí hiệu là: a b u AB MN , , , , ,... • Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu: 0 . Ta cũng hiểu rằng các vectơ AA BB MM , , , ... là các vectơ-không. Mọi vectơ-không có độ dài bằng 0. 2. Quan hệ cơ bản của hai vectơ • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. • Hai vectơ a b, được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. Kí hiệu: a b = . • Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.  Một số lưu ý: ⎯ Vectơ 0 luôn cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. ⎯ Trong vật lí, một số đại lượng như vận tốc, gia tốc của vật, lực tác dụng lên vật v.v... thường được biểu thị bởi các vectơ. 3. Tổng của hai vectơ a) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B ,C , ta có: AB BC AC + = . b) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là một hình bình hành thì ta có: AB AD AC + = .
Đ Ể KHÔNG M ỘT AI BỊ B Ỏ L ẠI PHÍA SAU [VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN] MÔN TOÁN – KHỐI 12  TAILIEUTOAN.VN  ZALO: 0386.117.490 2 c) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A B C D .     , ta có: AB AD AA AC + + =  . Chứng minh: Ta có: AB AD AA AC AA AC + + = + =    . (Vì ABCD và AA C C   là các hình bình hành). d) Tính chất của tổng vectơ ⎯ Tính chất giao hoán: a b b a + = + . ⎯ Tính chất kết hợp: (a b c a b c + + = + + ) ( ) . ⎯ Tính chất của vectơ-không: a a + = 0 . 4. Hiệu hai vectơ a) Hai vectơ đối nhau: ⎯ Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài. ⎯ Vectơ đối của a được kí hiệu là −a . Hai vectơ này có tổng bằng 0 . ⎯ Với hai vectơ a b, đối nhau, ta có: a b + = 0 . ⎯ Vectơ đối của 0 là chính nó. b) Hiệu hai vectơ ⎯ Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của a với vectơ đối của b . Kí hiệu: a b − . Ta có: a b a b − = + −( ). ⎯ Phép lấy hiệu của hai vectơ gọi là phép trừ vectơ. ⎯ Với ba điểm bất kì A, B ,C ta có: BC AC AB = − . 5. Tích của vectơ với một số a) Định nghĩa: Cho số thực k  0 và vectơ a  0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: ⎯ Nếu k  0 thì ka cùng hướng với a ; nếu k  0 thì ka ngược hướng với a . ⎯ Độ dài của vectơ ka bằng k lần độ dài của vectơ a , tức là ka k a =  .  Quy ước: 0 0  = a và k  = 0 0 . b) Tính chất tích của vectơ với một số Cho hai vectơ a b, bất kì và hai số thực h k, , ta có:  k a b ka kb ( ) + = + ;  ( ) h k a ha ka + = + ;  h ka hk a ( ) ( ) = ;  1 , ( 1)  = − = − a a a a .  Lưu ý: k a k  =  = 0 0 hoặc a = 0 . 6. Điểm đặc biệt • M là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 0 2 IA IB MA MB MI  + =   + = , với M tùy ý.

Đ Ể KHÔNG M ỘT AI BỊ B Ỏ L ẠI PHÍA SAU [VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN] MÔN TOÁN – KHỐI 12  TAILIEUTOAN.VN  ZALO: 0386.117.490 4 o 2 2 2 2 a b c a b c a b a c b c + + = + + +  +  +  2 2 2 và 2 2 2 2 2 2 2 xa yb zc x a y b z c xya b xza c yzb c + + = + + +  +  +  2 2 2 . ❖ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhau: Cho hai vectơ bất kì a b, , ta có: a b a b ⊥   = 0 . ❖ Tính công khi lực tác động làm vật di chuyển: Trong vật lí, nếu có một lực F tác động lên vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s OM = thì công A của lực F được tính theo công thức A F OM F OM =  =  cos , trong đó  là góc giữa hai vectơ F và OM , công A tính theo đơn vị Jun (J). 8. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ ⎯ Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó. ⎯ Ba vectơ a b c , , đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) để c ma nb = + . ⎯ Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ AB AC AD , , đồng phẳng. Điều kiện đặc biệt: ▪ AB AC AD , , đồng phẳng khi và chỉ khi AB mAC nAD = + với m, n là số thực. ▪ AB AC AD , , đồng phẳng khi và chỉ khi MA xMB yMC zMD = + + với các số thực x, y, z thỏa mãn x y z + + =1. ▪ AB AC AD , , đồng phẳng khi và chỉ khi xMA yMB zMC tMD + + + = 0 với các số thực x y z t , , , thỏa mãn x y z t + + + = 0.  Dạng 1. Chứng minh các hệ thức vectơ, tìm điểm và tính độ dài vectơ 1. Cho tứ diện ABCD có M N, lần lượt là trung điểm AB CD , ; I là trung điểm MN và G là trọng tâm tam giác BCD . Chứng minh rằng: a) AC BD AD BC + = + . Hướng dẫn giải Ta có: AC BD AD BC + = +  + − − = AC BD AD BC 0  − + − = ( AC AD BD BC ) ( ) 0  + = DC CD 0  =  = DD 0 0 0 (đpcm). b) AM AD NC NM − − = . ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................