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CÁLCULO 1 – CE84 SEMANA 3 – SP1 Temario: Extremos absolutos de una función en un intervalo abierto o cerrado, optimización y aplicaciones de la derivada a la Física. Logro de la sesión: El estudiante determina extremos absolutos, aplica las derivadas en problemas de Física y resuelve problemas de optimización en un contexto dado. EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN Una función f alcanza un máximo absoluto en un punto de abscisa c (perteneciente al dominio de f) si su imagen ósea f(c) es la mayor de todas, considerando las imágenes de todo el dominio de f. Si su imagen es la menor posible en todo el dominio de f, entonces f alcanza en c un mínimo absoluto. Ejemplo: En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función f con dominio [ ] −5;7 , complete: f ( 5) − = 4 f ( 3) − = -2 f (2) = 5 f (5) = -3 f (7) = 6 El máximo absoluto de f es 6 en 7 El mínimo absoluto de f es -3 en 5 NÚMERO CRÍTICO y PUNTO CRÍTICO Un número crítico de una función es un número f c D∈ para el cual 0 o no existe ′. Al punto ( ) c f c ; ( ) se le llama punto crítico. Ejemplo: Dada la función f cuya regla es 6 9 a) ¿Cuál es el dominio de f? : b) Halle los números críticos 6 9 → 3 12 9 → 3 4 3 3 3 1 0 → 3 3 1 0 → !. #:$%3 ; %1' c) Halle los puntos críticos %( ; )%( %( ; * ; %+ ; )%+ %+ ; %, Ejercicio 1: Dada la función f cuya regla es ( ) 2 f x x x x ( ) ln = + − a) ¿Cuál es el dominio de f? : -0; ∞/ b) Halle los números críticos !. #:$1/2' c) Halle los puntos críticos +/1 ; )+/1 2 + 1 ; ( , 3415 2 + 1 ; +, ,,5
CE84 CÁLCULO 1 2/7 EPE INGENIERÍA TEOREMA DEL VALOR EXTREMO Si es una función continua en un intervalo cerrado /7; 8-, entonces alcanza un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto 9 en algunos números y 9 de /7; 8-. EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO Para hallar los extremos absolutos de una función continua en /7; 8-se deben seguir los siguientes pasos: Paso 1: Halle el valor de en los números críticos de f en -7; 8/. Paso 2: Halle f(a) y f(b) Paso 3: El mayor de los valores obtenidos en los pasos 1 y 2 es el máximo absoluto, el menor es el mínimo absoluto. Ejemplo: Halle los valores máximo y mínimo absolutos de 3 2 f x x x x x ( ) 2 3 12 7 , 3 0 = + − − − ≤ ≤ , justifique cada paso de su proceso escribiendo qué está realizando: Sol. 6 6 % 12 6 2 % 1 → !. # $%2; 1' %2 5 ; 1 %14 ; %3 2 ; 0 %7 Por lo tanto: %2 5 es el máximo absoluto. 1 %14 es el mínimo absoluto. Ejercicio 2: : Dada la función 4 3 2 4 11 ( ) 6 5 , 2 1 3 2 f x x x x x x = − + + + − ≤ ≤ , halle los valores máximo y mínimo absolutos, justifique cada paso de su proceso escribiendo que está realizando. %2 41,66 es el máximo absoluto y %0,44 8,62 es el mínimo absoluto. EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO ABIERTO Sea una función continúa definida en -7; 8/ donde f alcanza un máximo o mínimo absoluto, el cual se determina de la siguiente manera: Paso 1: Halle el valor de en los números críticos de f en -7; 8/ Paso 2: Calcule lim ( ) y lim ( ) x a x b f x f x → → + − Paso 3: Compare los valores obtenidos en los ítem anteriores, si el valor obtenido en el paso 1 es mayor entonces hay máximo absoluto en el número crítico y si el valor en el paso 1 es menor hay mínimo absoluto.
CE84 CÁLCULO 1 3/7 EPE INGENIERÍA Ejemplo: Halle los valores máximo o mínimo absoluto de: 4 3 2 ( ) 11 40 10 , 20 15 4 3 x x f x x x x = − − + − − < < , justifique cada paso de su proceso escribiendo que está realizando. Solución % % 22 40 % 2 % 4 5 → !. # $%5; 2 ; 4' %5 %287.08 ; 2 27,33 ; 4 16,66 lim ?→@AB 37456,66 C lim ?→DEF 9646,25 Por lo tanto: %5 %287,08 es el mínimo absoluto. Ejercicio 2: Halle los valores máximo y mínimo absoluto de 4 3 2 f x x x x x ( ) 3 4 12 5 , 1 3 = − − + − < < , justifique cada paso de su proceso escribiendo que está realizando. 2 %19 es el mínimo absoluto. OPTIMIZACIÓN CONOCIMIENTOS PREVIOS: MODELACIÓN CON FUNCIONES Las funciones son muy utilizadas para modelar matemáticamente situaciones y problemas de la vida real. Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración, etcétera. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro. Ejemplo: Se quiere cercar un terreno rectangular con 200 metros de malla, asigne variables a cada uno de los lados y halle el área en función del lado menor (según sus variables). Determine el dominio natural de esta función, tomando en consideración las restricciones físicas. Solución x: longitud del ancho del terreno, en m. y: longitud del largo del terreno, en m. GHIíHKILMNNMOP 2 2C 200 Despejando: C 100 % Función objetivo: Q 100 % Reemplazando: Q 100 % 100 % ; ∈ - 0 ; 100/ Ejercicio 4: Se va a construir una caja rectangular sin tapa a partir de una lámina metálica de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Para ello se van a recortar cuadrados de lado "x" en las esquinas y luego se van a doblar los lados hacia arriba. Halle el volumen (V) de la caja como función de (x) y determine su dominio. V(x)=x(30-2x)(20-2x) Dom(V)=]0;10[.
CE84 CÁLCULO 1 4/7 EPE INGENIERÍA OPTIMIZACIÓN Un problema de optimización consiste en encontrar el máximo y/o mínimo de una función objetivo, donde la o las variables están sujetas a ciertas restricciones. El valor máximo o mínimo si existe, se llama la solución óptima. Ejemplo: Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo, en una pancarta rectangular que tenga 180 cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las dimensiones que debe tener el trabajo para que el área de la pancarta sea mínima. ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1. Comprenda el problema y verifique que reúne las características de un problema de optimización. 2. Esboce un diagrama e identifique en él las cantidades dadas y requeridas, asigne variables. 3. Relacione, las cantidades conocidas y las variables mediante ecuaciones (ecuaciones de enlace). 4. Identifique la función objetivo 5. Elimine variables hasta expresar la función objetivo en términos de una variable e indique las restricciones de la variable. 6. Aplique los métodos estudiados para hallar el máximo o el mínimo absoluto de una función. 7. Redacte su respuesta. Solución x: longitud del ancho del material impreso, en cm. y: longitud del largo del material impreso, en cm. ÁIH7TULMNVUW VTXNMYP C 180 Despejando: C DZA ? Función objetivo: Q 4C 6 Reemplazando: Q 4 2 DZA ? 65 204 6 [A ? ; ∈ - 0 ; ∞/ Q 6 % [A ? \ Q 0 → Q 6 % [A ? \ 0 → !. # ]2√30_ $10,95'