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ANALISI VETTORIALE — ESAME SCRITTO DEL 14/5/2014 Esercizio 1 Determinare, al vari al variare di α ∈]0, 1], in quali punti dell’asse x ` e differenz differenziabile la funzione f (x, y) = x|y|α. Risposta Per x = 0 la funzione non funzione non ́e derivabile rispetto rispetto alla y quindi quindi a maggior maggior ragione ragione non `e differenziabile. Per x = y = 0 applicando la definizione di differenziabilit` = 0 applicando la definizione di differenziabilit`a si verifica che si verifica che lim (h,k)→(0,0) |f (h, k) − f (0, 0)| √ h2 + k2 = lim (h,k)→(0,0) |h||k| √ h2 + k2 = 0 dato che |h||k| √ h2 + k2 ≤ |h|. Esercizio 2 Data la funzione f (x, y) = a(x2 − 1) + 3xy + y3 : 1. si dimostri che, per ogni a, l’equazione f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y = g(x) in un intorno di (1, 0); 2. si calcoli a in modo che g(x) abbia in x = 1 un punto critico . Risposta La funzione f (x, y) ` e un polinomio polinomio e quindi di quindi di classe C ∞. Si ve rifica ch e f (1, 0) = 0 e che f y(1, 0) = 3. Applicando il Te orema del Dini si ma del Dini si deduce qui uce quindi che ndi che f (x, y) = 0 definisce implicitamente una funzione y = g(x). La derivata prima di g(x) `e data dalla formula: formula: g(x) = − f x(x, g(x)) f y(x, g(x)) da cui si deduce che g (1) = 2a/3 e quindi si ha un punto critico se e solo se a = 0. Esercizio 3 Si consideri la successione f n(x) = n x + n : 1. si studi si studi la conver la convergenza puntu genza puntuale ed uniforme della me della successione nell’in nell’intervallo [0 allo [0, a] con a > 0. 2. si studi si studi la convergenza uniform genza uniforme della e della successione nell’in nell’insieme [0 sieme [0,∞). Risposta La successione conver La successione converge puntualmente a ge puntualmente a f (x) = 1 per ogni x ∈ R. Per quanto riguarda la convergenza uniforme si ha che sup x∈[0,a] |f n(x) − 1| = max x∈[0,a] x n + x = a n + a