Tiêu đề Chương 5_Bài 16_ _KNTT_Lời giải.pdf ✅

CHƯƠNG V: GIỚI HẠN DÃY SỐ BÀI 16: GIỚI HẠN HÀM SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Giả sửa;b là một khoảng chứa điểm 0 x và hàm số y  fx xác định trên a;b hoặc trên   0 a;b \ {x }. Ta nói hàm số y  fx có giới hạn là số L khi x dần đến 0 x nếu với dãy số   n x bất kì, xn a;b \ {x0} vaø xn  x0 ,tacoù f(xn )  L. Kí hiệu: 0 x x0 lim f(x) L hay f(x) L khi x x           n n  0 n  0  n  x x0 lim f(x) L (x ),x a;b \ {x },x x f(x ) L Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm nhu sau:   x x x x 0 0 x x0 x x0 x x0 x x x x 0 0 a)Giaûi söû lim f(x) L vaø lim g(x) M.Khi ñoù: * lim f(x) g(x) L M; * lim f(x).g(x) L.M; f(x) L * lim neáuM 0 . g(x) M b)Neáuf(x) 0 vaø lim f(x) L thì :L 0 vaø lim f(x) L. Daáu cu                                    0 ûa f(x) ñöôïc xaùc ñònh treân khoaûng ñang tìm giôùi haïn, vôùi x  x Chú ý: * 0 limx x c c   với c là hằng số. * 0 0 lim n n x x x x   vó́i n . Nhận biết giới hạn một bên • Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng   0 x ;b . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y  fx khi 0 x  x nếu với dãy số   n x bất kì, 0 n n 0 n x  x  b vaø x  x ta coù: f(x )  L. Kí hiệu: x x0 lim f(x) L      n 0 n n 0 n x x0 lim f(x) L x ,x x b,x x f(x ) L          
• Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng   0 a;x . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y  fx khi 0 x  x nếu với dãy số   n x bất kì, n 0 n 0 n a  x  x vaø x  x ta coù: f(x )  L. Kí hiệu: x x0 lim f(x) L.      n n 0 n 0 n x x0 lim f(x) L x ,a x x ,x x f(x ) L.           2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC • Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng (a;). Ta nói hàm số y  fx có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số   n x bất kì, n n n x  a vaø x   ta coù: f(x )  L. . Kí hiệu: x lim f(x) L hay f(x) Lkhix .        n n n n x lim f(x) L x ,x a,x f(x ) L.          • Cho hàm số y  fx xác định trên khoảng (;a). Ta nói hàm số y  fx có giới hạn là số L khi khi x   nếu với mọi dãy số   n x bất kì, n n n x  a vaø x   ta coù: f(x )  L. Kí hiệu: x lim f(x) L hay f(x) Lkhix .        n n n n x lim f(x) L x ,x a,x f(x ) L.          Chú ý: - Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cŭng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực. - Với c là hằng số, ta có: lim , lim x x c c c c     . - Với k là một số nguyên dương, ta có: 1 1 lim 0, lim 0 k k x x x x   . 3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM a) Giới hạn vô cực Giả sử khoảng (a;b) chứa 0 x và hàm số y  f (x) xác định trên (a;b) \x0. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn  khi 0 x  x nếu với dãy số  xn  bất kì,  0 0 ( ; ) \ , n n x  a b x x  x , ta có f  xn    , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x    . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn  khi 0 x  x , ki hiệu 0 lim ( ) x x f x    , nếu 0 lim[ ( )] x x f x     . - Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng  x0 ;b. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn  khi 0 x  x về bên phải nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mãn 0 0 , n n x  x  b x  x , ta có f  xn    , ki hiệu 0 lim ( ) x x f x     .
- Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng a; x0 . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn  khi 0 x  x về bên trái nếu với dãy số  xn  bất kì thoả mãn 0 0 , n n a  x  x x  x , ta có f  xn    , kí hiệu 0 lim ( ) x x f x     . - Các giới hạn một bên 0 lim ( ) x x f x     và 0 lim ( ) x x f x     được định nghĩa tương tự. Chú ý. Các giới hạn lim ( ) , lim ( ) x x f x f x      , lim ( ) x f x    và lim ( ) x f x    được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f (x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y  f (x) , xác định trên khoảng (a;) , có giới hạn là  khi x   nếu với dãy số  xn  bất kì, n x  a và n x   , ta có f  xn    , kí hiệu lim ( ) x f x    hay f (x)   khi x   . Một số giới hạn đặc biệt: - lim k x x    với k nguyên dương; - lim k x x    với k là số chẵn; - lim k x x    với k là số lẻ. b) Một số quy tắc tìm giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x) Nếu   x x x x x x 0 0 0 lim f(x) L 0 vaø lim g(x) hoaëc thì lim f(x)g(x)          được tính theo quy tắc trong bảng sau: x x0 lim f(x)  x x0 lim g(x)  x x0 lim f(x).g(x)    L  0     L  0 -  +  b) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x) g(x) x x0 lim f(x)  x x0 lim g(x)  Dấu của g(x) x x0 f(x) lim  g(x) L  Tuỳ ý 0 +  L  0 0 - 
+  L<0 -  Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp 0 0 x x ,x x ,x ,x       B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 5.7. Cho hai hàm số   2 1 1 x f x x    và g  x  x 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? a) f  x  g  x; b)     1 1 lim lim x x f x g x    . Lời giải Ta có: - Tập xác định của f  x : D  R 1 - Tập xác định của g  x: R   1 lim 2 x f x     1 lim 2 x g x   Vậy khẳng định b đúng Bài 5.8. Tính các giới hạn sau: a) 2 0 ( 2) 4 limx x  x   ; b) 2 2 0 9 3 limx x  x   . Lời giải a)         2 1 1 1 0 0 lim 4 3, lim 1 2 lim limsin lim 0 0 x x x x x x x f x x x m m                      2 2 0 0 0 ( 2) 4 4 lim lim lim 4 4 x x x x x x x  x  x         b) 2 2 0 0 2 9 3 1 1 lim lim x x 9 3 6 x x x         Bài 5.9. Cho hàm số   0 khi 0 1 khi 0 t H t t       ( hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t  0). Tính   0 lim x H t   và   _ 0 lim x H t  . Lời giải     _ 0 0 lim 0 lim 1 x x H t H t     