Tiêu đề CHUYÊN ĐỀ 9 - ĐA THỨC MỘT BIẾN, CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN.pdf ✅

CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 1 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG ĐA THỨC MỘT BIẾN - CỘNG TRỪ ĐA THỨC MỘT BIẾN NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN A. Kiến thức cần nhớ 1. Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. * Mỗi đơn thức được coi là một đa thức. * Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó. 2. Để cộng (hay trừ) các đa thức ta dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính. 3. Phép cộng các đa thức có tính chất giao hoán và kết hợp. 4. Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến. * Đa thức một biến x được ký hiệu f x ; g x  ... hoặc A x  ; B x  .... * Mỗi số được coi là một đa thức một biến. * Giá trị của đa thức một biến f x  tại x a  được ký hiệu f a  * Đa thức một biến (sau khi rút gọn) thường được sắp theo lũy thừa giảm dần hay tăng dần của biến. * Bậc của đa thức một biến (khác với đa thức không) là số mũ cao nhất của biến. 5. Đa thức một biến bậc n có dạng thu gọn:   1 2 2 1 1 2 2 1 0 . . . ... . . n n n n n n f x a x a x a x a x a x a            (với 0 n a  ) Trong đó 1 2 3 1 ; ; ; ...; ; n n a a a a a  là các hệ số; 0 a là số hạng độc lập hay hệ số tự do. * f x ax b a       0 là nhị thức bậc nhất. *     2 f x ax bx c a     0 là tam thức bậc hai. 6. Để cộng hay trừ hai đa thức một biến, ta có hai cách: a) Dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính. b) Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột). 7. Nếu tại x a  , đa thức P x  có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x a  ) là một nghiệm của đa thức đó. * a là nghiệm của P x P a       0. * Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ... hoặc không có nghiệm. * Số nghiệm số của một đa thức không vượt quá bậc của nó. B. Một số ví dụ
CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 2 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG Ví dụ 1: Thu gọn các đa thức sau và cho biết bậc của mỗi đa thúc: a) 2 3 3 2 3 3 2 3 3 3 4 A x y xy x y xy x y xy x y        15 3 16 16 15 18 3,75 b) 3 2 2 2 2 0,25 13 6,75 6 2,5 5 5 B xy x yz xy x yz xy x yz xy         Tìm cách giải: Để thu gọn đa thức ta xem trong đa thức có những đơn thức nào đồng dạng rồi thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng. a)     2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 4 A x y x y x y xy xy xy x y         15 15 16 3 16 18 3,75 ; b)   3 2 2 2 2 13 6 0, 25 6,75 2,5 5 5 B xy xy xy xy x yz x yz x yz               . Giải a) 2 3 3 3 4 A x y xy x y    16 3,75 Bậc của đa thức là 7. b) 2 B xy x yz    6 4 . Bậc của đa thức là 4. Ví dụ 2: Cho hai đa thức: 2 2 C x xy y    9,5 5 3,2 và 2 2 D x xy y     3,5 4 1,8 . a) Tính C D sau đó tìm giá trị của tổng tại x  1 và y  2 ; b) Tính C D ; c) Tìm đa thức E sao cho E C D   ; d) Tìm đa thức M biết:   2 2 2 2 M x y D x xy y C        2 4 16 4 5 .  Tìm cách giải: Thực hiện các phép toán cộng trừ hai đa thức ta làm tương tự như việc dựa vào quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép tính trên số để cộng trừ các biểu thức số. Giải a)     2 2 2 2 C D x xy y x xy y         9,5 5 3,2 3,5 4 1,8 2 2 2 2       9,5 5 3,2 3,5 4 1,8 x xy y x xy y       2 2 2 2        9,5 3,5 5 4 3,2 1,8 x x xy xy y y 2 2    6 1, 4 x xy y . Tại x y    1; 2 thì    2 2 C D       6.1 1. 2 1, 4. 2 13,6 . b)     2 2 2 2 C D x xy y x xy y         9,5 5 3,2 3,5 4 1,8 2 2 2 2       9,5 5 3,2 3,5 4 1,8 x xy y x xy y       2 2 2 2        9,5 3,5 5 4 3.2 1,8 x x xy xy y y 2 2    13 9 5 x xy y .
CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 3 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG c)   2 2 E C D E D C C D x xy y             13 9 5 . d)   2 2 2 2 M x y D x xy y C        2 4 16 4 5     2 2 2 2 M x xy y x y C D        16 4 4 2 4 2 2 2 2 2 2         16 4 5 2 8 13 9 5 x xy y x y x xy y       2 2 2 2 2 2          16 13 2 4 9 5 8 5 x x x xy xy y y y 2 2    27 13 18 x xy y Ví dụ 3: Cho đa thức         5 6 3 2 3 4 5 6 A x bx b x a x ax x bx cx x x ax c x                2 12 0,5 5 4 10 11 6 1 a) Viết đa thức dưới dạng thu gọn với các hệ số bằng số, biết rằng A x  có bậc là 5; hệ số cao nhất là 19 và hệ số tự do là -15; b) Tính 3 1 2 1 A A      .  Tìm lời giải: a) Bậc của đa thức một biến (khác với đa thức không) là số mũ cao nhất của biến. A x  có bậc là 5 nên hệ số của 6 x trong đa thức rút gọn phải là 0. Hệ số cao nhất chính là hệ số của 5 x và hệ số tự do chính là c 10 của đa thức rút gọn. Từ đó tìm ra a, b, c. b) A m  là giá trị của A x  khi thay x m . Giải a)         6 6 5 5 4 3 3 2 A x x a x x b x cx ax bx x a c x bx c                6 12 11 2 4 0,5 5 10           6 5 4 3 2               a x b x cx a b x x a c b x c 18 9 4 0,5 5 10 Ta có 18 0 18 9 19 10 10 15 5 a a b b c c                          5 4 3 2 A x x x x x x       19 20 5 33 15 b) A1 19 20 1 5 33 15 11                     5 4 3 2 A             1 19 1 20 1 1 5 1 33 1 15          19 20 1 5 33 15 91 Nên 3 1 2 1 3.11 2. 91 33 182 215 A A               .
CHỦ ĐỀ ÔN THI HSG 7 – MỚI 0386536670 4 SẢN PHẨM CỦA: CỘNG ĐỒNG GV TOÁN VN – NGUYỄN HỒNG Ví dụ 4: Cho       3 6 7 5 4 f x x x x x x x x          2 10 1 20 5 1,5 10 6 và     3 5 7 2 3 4 2 4 8 g x x x x x x x x x x           2 5 7 11 2,5 9 4, 2 1,5 13 . a) Thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của các đa thức; b) Tính g x f x      theo cách bỏ dấu ngoặc; c) Tính g x f x      theo cách đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột. Giải a)   3 6 7 5 4 f x x x x x x x x          2 10 10 20 5 5 1,5 10 6 7 6 5 4 3         5 20 5 1,5 10 8 10 x x x x x x . và   3 5 7 2 3 4 2 4 8 g x x x x x x x x x x           2 2 5 7 11 2,5 9 4,2 1,5 13 8 7 5 4 3 2        13 5 2 4 9 2,8 9 x x x x x x . b)         8 7 5 4 3 2 7 6 5 4 3 g x f x x x x x x x x x x x x x                 13 5 2 4 9 2,8 9 5 20 5 1,5 10 8 10           8 7 7 6 5 5 4 4 3 3 2                  13 5 5 20 2 5 4 1,5 9 10 2,8 8 9 10 x x x x x x x x x x x x 8 7 6 5 4 3 2          13 10 20 3 5,5 2,8 8 19 x x x x x x x x c)         8 7 5 4 3 2 7 6 5 4 3 8 6 5 4 3 2 13 5 2 4 9 2,8 9 5 20 5 1,5 10 8 10 13 20 7 2,5 19 2,8 8 1 g x x x x x x x f x x x x x x x g x f x x x x x x x x                                                             Ví dụ 5: a) Tìm đa thức A x ax b     biết rằng A   1 15  và A2 9    . b) Tìm các hệ số a, b, c của đa thức   3 2 B x ax bx cx d     biết rằng B B B 0 2; 1 2; 1 8          và a c  2  Tìm cách giải: a) A   1 15  có nghĩa là -15 là giá trị của A x  tại x  1 . Thay x  1 vào đa thức sẽ tìm được     a b 15. Tương tự thay x  2 vào đa thức ta sẽ tìm được 2 9 a b    . Từ hai đẳng thức trên ta tìm được a và b. b) B0 2   ta thấy ngay d  2 . Tìm a, b và c tương tự như câu a) lưu ý là a c  2 .