Tiêu đề CHƯƠNG 5 - Một số bổ đề thường dùng trong chứng minh BĐT.doc ✅

2 Một số bổ đề thường dùng trong chứng minh BĐT Trong mục này, ta sẽ đến với một số BĐT khá chặt và kết quả của nó thường được sử dụng để chứng minh các BĐT khác. Các BĐT như vậy, ta tạm gọi là các bổ đề. 2.1 Bổ đề 1. Chứng minh: Theo BĐT Cauchy, ta có:  2 2222 2 11. 22 abab ababab       Bổ đề được chứng minh. 2.2 Bổ đề 2. Chứng minh: Ta có:   2 1 112 . 111111 abab abababab    Từ đó, hai BĐT trên được chứng minh. 2.3 Bổ đề 3. Chứng minh: Sử dụng đẳng thức: ,abbccaabcabbccaabc kết hợp với BĐT AM - GM ta được điều phải chứng minh. 2.4 Bổ đề 4. Chứng minh: Không mất tính tổng quát, ta giả sử b là số nằm giữa a và .c Khi đó: 2220.cbabcbccacbabc Vậy nên: 222222223abbccaabcabcbabcbacbb Với ,ab là các số thực dương thì: 22 . 2 ab abab  Với ,ab là các số thực dương. Khi đó: 112 ) 111a abab  nếu 1.ab 112 ) 111b abab  nếu 1.ab Với ,,abc là các số thực dương. Khi đó 98.abbccaabcabbcca Với ,,abc là các số thực dương có tổng bằng 3. Khi đó: 222 4.abbccaabc
Như vậy, ta cần có: 234.bb Điều này là hiển nhiên, vì theo BĐT AM - GM, ta có: 32262 232338. 3 bb bbbbb    Bổ đề được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1abc hoặc 1,2,0abc và các hoán vị của nó. 2.5 Bổ đề 5. Chứng minh: Chuẩn hóa 1abc và ta cần chứng minh: 2222222 22223.abcabcabc abc bcacabbca     Theo BĐT AM - GM, ta có: 26 2 3 222233.aaaa a bccbca Tương tự cho hai đánh giá còn lại. Cộng theo vế bổ đề được chứng minh. 2.6 Bổ đề 6. Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn - Vasile Cirtoaje) Chứng minh: Vì 1abc nên tồn tại ,,0xyz sao cho: 222;;.yzzxxy abc xyz Khi đó, BĐT trở thành: 444 2224222422241.xyz yzyzxxzxzxyyxyxyzz  Theo BĐT Cauchy, ta có: 444 222422242224 xyz yzyzxxzxzxyyxyxyzz    2 222 444222222.xyz xyzxyyzzxxyzxyz    Vậy ta chỉ cần chứng minh: 2222444222222xyzxyzxyyzzxxyzxyz Với ,,abc là các số thực dương. Khi đó 222 3 3 . abc abc bcaabc   Với ba số thực dương ,,abc có tích bằng 1 thì: 222 111 1. 111aabbcc 
222222xyyzzxxyzxyz 2221110. 222xyyzyzzxzxxy Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.abc Nhận xét: Bổ đề thường được sử dụng với dạng: Với ,,abc là các số thực dương có tích bằng 1, m là số thực tùy ý thì BĐT sau luôn đúng: 222 111 1. 111mmmmmmaabbcc  2.7 Bổ đề 7. Bổ đề (Võ Quốc Bá Cẩn - Trần Quốc Anh) Chứng minh: Thật vậy, theo BĐT Holder ta có:  2 3 22 .xy xyzyzxxy yzzx      Vì z là số nhỏ nhất trong ba số nên ta được: 2222xyzyzxxyxyzzxy    22 2 22. 44 xyxy xyzzxyxyz  Vậy nên ta có:   3 22 xyxy yzzxxyzyzx      3 2 4 2. 22 xyxy xyzxyxyz    Bổ đề được chứng minh. Nhận xét: Một kết quả có hình dáng tương tự thường được sử dụng cho các BĐT có các số hạng dạng của BĐT Nesbitt: Với ,,xyz là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 . 2 xyxy yzxzxyz    Với ,,xyz là các số thực dương và z là số nhỏ nhất. Chứng minh rằng: 2. 2 xyxy yzzxxyz   