Tiêu đề TOÁN-12_C5_BÀI-1_PHUONG-TRINH-MAT-PHANG_TOÁN-THỰC-TẾ_HDG.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ V – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 1 Sưu tầm và biên soạn V PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LÝ THUYẾT. I = = = I I. VEC-TƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VEC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG. 1. Định nghĩa. Cho mặt phẳng  .  Nếu vec-tơ n→ khác 0→ và có giá vuông góc với  thì n→ được gọi là vec-tơ pháp tuyến của  .  Nếu hai vec-tơ a→ và b→ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong  thì a→ , b→ được gọi là cặp vec-tơ chỉ phương của  . 2. Chú ý.  Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vec-tơ pháp tuyến hoặc một điểm và một cặp vec-tơ chỉ phương của mặt phẳng đó.  Nếu n→ là một vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng  thì kn→ 0k cũng là một vec- tơ pháp tuyến của mặt phẳng  . II. XÁC ĐỊNH VEC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG KHI BIẾT MỘT CẶP VEC-TƠ CHỈ PHƯƠNG 1. Định lý. Trong không gian Oxyz , nếu mặt phẳng  nhận hai vec-tơ 123;;aaaa→ , 123;;bbbb→ làm cặp vec-tơ chỉ phương thì  nhận vec-tơ 233231131221;;nabababababab→ làm vec-tơ pháp tuyến. 2. Chú ý. a) Vec-tơ 233231131221;;nabababababab→ được gọi là tích có hướng của hai vec-tơ 123;;aaaa→ , 123;;bbbb→ . Tích có hướng của hai vec-tơ a→ và b→ , kí hiệu ,ab  → → b) Biểu thức 1221abab thường được kí hiệu 12 12 aa bb . Tương tự, 32 2332 23 aa abab bb và 31 3113 31 aa abab bb . Như vậy: 332112 233112 ,;;aaaaaa ab bbbbbb      → → . c) Hai vec-tơ a→ và b→ cùng phương ,0ab  →→ → .
CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN III. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 1. Định nghĩa. Trong không gian Oxyz , phương trình có dạng 0AxByCzD , trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. 2. Nhận xét. Cho mặt phẳng  có phương trình tổng quát là 0AxByCzD . Khi đó, Mặt phẳng  có một vec-tơ pháp tuyến là ;;nABC→ . 000000;;0NxyzAxByCzD . Mỗi phương trình 0AxByCzD (trong đó A , B , C không đồng thời bằng 0) đều là phương trình của một mặt phẳng xác định. 3. Một số dạng toán viết phương trình mặt phẳng cơ bản a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một vec-tơ pháp tuyến Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng đi qua điểm 0000;;Mxyz và có vec- tơ pháp tuyến ;;nABC→ là 0000AxxByyCzz hay 0AxByCzD với 000DAxByCz . b) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và có một cặp vec-tơ chỉ phương Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua điểm 0000;;Mxyz và có cặp vec-tơ chỉ phương a→ , b→ , ta thực hiện như sau Tìm một vec-tơ pháp tuyến ,nab  → →→ . Viết phương trình mặt phẳng  đi qua điểm 0000;;Mxyz và có vec-tơ pháp tuyến n→ . c) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua ba điểm A , B , C không thẳng hàng, ta thực hiện như sau Tìm cặp vec-tơ chỉ phương, chẳng hạn AB→ , AC→ . Tìm một vec-tơ pháp tuyến ,nABAC  →→ → . Viết phương trình mặt phẳng  đi qua A và có vec-tơ pháp tuyến n→ . d) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng theo đoạn chắn Phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua ba điểm ;0;0Aa , 0;;0Bb , 0;0;Cc là 1xyz abc . 4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc
CHUYÊN ĐỀ V – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Page 3 Sưu tầm và biên soạn a) Điều kiện để hai mặt phẳng song song Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 11111:0AxByCzD và 22222:0AxByCzD có vec-tơ pháp tuyến lần lượt là 1111;;nABC→ , 2222;;nABC→ . Khi đó: 1212 12 nkn k DkD    →→ ∥ℝ . Chú ý. - 1212 12 nkn k DkD    →→ ℝ . - 1 cắt 21n→ và 2n→ không cùng phương. b) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng 11111:0AxByCzD và 22222:0AxByCzD có vec-tơ pháp tuyến lần lượt là 1111;;nABC→ , 2222;;nABC→ . Khi đó 121212121200nnAABBCC→→ . 5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  có phương trình 0AxByCzD và điểm 0000;;Mxyz . Khoảng cách từ điểm 0M đến mặt phẳng  được tính theo công thức 0000 222 d,AxByCzD M ABC    . HỆ THỐNG BÀI TẬP TOÁN THỰC TẾ. Câu 1: Khi gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz . Biết rằng các vị trí 3;4;33,9;8;35AD lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu decimét? Lời giải Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua điểm 3;4;33A nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà là: 330z . Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà bằng: 222 3533 2 001    . Vậy độ dày của mái nhà là 2 dm.
CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu 2: Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An 0,5m và cách Nam 4,5m . Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng :0axbycxd và vuông góc với mặt đất. Khi đó giá trị của abcd bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là điểm mà quả bóng chạm đất. Khi đó 0,5Mx , 224,50,525 My Vì 0xy nên  có véc tơ chỉ phương 0;0;1k→ . Mà  có véc tơ chỉ phương 0,5;25;0OM→ Khi đó véc tơ pháp tuyến của  là ,25;0,5;0nkOM→→→ . :250,50xy . 25;0,5;0;03,97abcdabcd . Câu 3: Một phần sân trường được định vị bởi các điểm ,,,ABCD , như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài 25mAB , 15mAD , 18mBC . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B , C , D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10cm , cma , 6cm tương ứng sao cho bốn điểm ,',','ABCD đồng phẳng. Giá trị của a là