Tiêu đề PHAN 2. CO HOC VAT RAN.doc ✅

1 Phần CƠ HỌC VẬT RẮN Dạng 1. TÍNH MÔMEN QUÁN TÍNH – XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM A. TÓM TẮT KIẾN THỨC 1. Mô men quán tính - là một đại lượng vật lý (với đơn vị đo trong SI là kilôgam mét vuông kg m 2 ) đặc trưng cho mức quán tính của các vật thể trong chuyển động quay , tương tự như khối lượng trong chuyển động thẳng. - Với một khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mô men quán tính được tính bằng: I = m r 2 -Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mô men quán tính của hệ bằng tổng của mô men quán tính từng khối lượng: 2 iiImr  -Với vật thể rắn đặc, chứa các phần tử khối lượng gần như liên tục, phép tổng được thay bằng tích phân toàn bộ thể tích vật thể: 2Irdm -Với dm là phần tử khối lượng trong vật và r là khoảng cách từ dm đến tâm quay. Nếu khối lượng riêng của vật là ρ thì: dm = ρ dV Với dV là phần tử thể tích. Định lí trục song song (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). Xét với trục quay  song song với trục quay  G qua khối tâm G của vật rắn, chúng cách nhau một khoảng d. Khối lượng vật rắn là M, mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay  là I được xác định qua mô men quán tính I G đối với trục quay  G I = I G + Md 2 (Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). I G -là mô men quán tính của vật đối với trục quay qua khối tâm m -là khối lượng của vật d -là khoảng cách giữa 2 trục quay 2. Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm M i có khối lượng m i, gọi O là một điểm tùy ý, ta có
2 iiii G i mrmr OGr mM  →→ → → với i irOM→→ Nếu ta chọn O ở G thì 0Gr→→ b) Đối với vật rắn: G rdmrdm r Mdm  →→ → B. VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1. Cho một khối trụ đồng chất khối lượng m phân bố đều, có tiết diện là hình vành khăn, bán kính ngoài là r, bán kính trong là 2 r . Khối trụ này lăn không trượt, không vận tốc đầu từ đỉnh của một bán trụ cố định bán kính R. R  C O Gọi I là momen quán tính của khối trụ đối với trục của nó. Hãy tính I theo m và r. Hướng dẫn Khối lượng riêng của khối trụ rỗng: 22 2r.π.3. m4 4 r rπ m D            Khối lượng của khối trụ đặc bán kính r: m 3 4 m 4 r r r m 2 2 2 1         Khối lượng của khối trụ đặc bán kính r/2: m 3 1 mm 3 4 m2 Momen quán tính của khối trụ rỗng: 2 22 1212 11r5 IIImrmmr 2248 (1)
3 . O 0v Ví dụ 2. Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O(hình vẽ). Chứng minh rằng khối tâm G của bán cầu cách tâm O của nó một đoạn là d = 3R/8. Hướng dẫn Do đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox. Chia bán cầu thành nhiều lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ). Một lớp ở điểm có toạ độ x= R sin , dày dx= Rcos.d có khối lượng dm = (Rcos) 2 dx với 3 R 3 2 m nên: m dsincosR m xdm x 2/ 0 34 m 0 G    d = 8 R3 m4 R cos m4 R x 4 2/ 0 4 4 G   ( đpcm) Ví dụ 3. Xác định tọa độ trọng tâm của các vật đồng chất có khối lượng là  trên một đơn vị phân bố tương ứng có hình dạng như sau a. Đoạn dây hình cung, bán kính R, chắn góc  . Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn bán kính R. b. Bản phẳng hình quạt bán kính R, góc ở tâm  . Áp dụng cho bản bán nguyệt bán kính R. Hướng dẫn a) Tọa độ trọng tâm của cung tròn + Do tính chất đối xứng nên vị trí khối tâm G của đoạn dây nằm trên trục Ox + Xét phần tử vi phân chiều dài rất bé có độ dài và khối lượng tương ứng là . .. dlRd dmRd       ( Vì khối lượng phân bố theo chiều dài) . O O  x x dx O R x d α R α
4 +Tọa độ khối tâm G 222 2 222 2sin 112 .cos.os.os.G R R xdmRRcdcd mm          ( với ..mR ) + Áp dụng cho đoạn dây nửa đường tròn 2 G R x  b) Tọa độ trọng tâm của hình quạt. + Biện luận như câu a. Trọng tâm nằm trên trục Ox + Xét phần tử vi phân diện tích dS giới hạn bởi hai đường tròn bán kính r và (r + dr) có góc ở tâm là d có khối lượng tương ứng là dm với ... ... dSdldrrddr dmdSrddr       ( Vì khối lượng phân bố theo diện tích) + Tọa độ khối tâm G 2 2 0 2 4.sin 12 ..os. 3 R G R xrdrcd m         (với 21 2mR ) + Áp dụng cho hình bán nguyệt 4 3G R x  O C x r dr dφ