Tiêu đề Chương 5_Bài 3_ _CTST_Đề bài.pdf ✅

BÀI 3. TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất - Cho số k khác 0 và vectơ a khác 0  . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu là  ka . Vectơ  ka cùng hướng với a nếu k  0 , ngược hướng với a nếu k  0 và có độ dài bằng | | | |  k a . Quy ước: 0  0  a và 0  0   k . Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k , ta có: (  )       k a b ka kb (  )      h k a ha ka , ( )  ( )   h ka hk a , 1.    a a , (-1),     a a . 2. Điều kiện để hai vectơ cùng phưong Hai vectơ a và (   b b khác 0)  củng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho   a kb . 3. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 đê    AB k AC . B. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Câu 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng: a)     4      MA MB MC MD MO b)    2     AB AC AD AC Câu 2. Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng a)   2    AC BD MN b)        AC BD BC AD Câu 3. Cho hai điểm phân biệt A và B . Xác định điểm M sao cho  4  0    MA MB Câu 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F,G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB,CD, EF . Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng: MA  MB  MC  MD  4MG      Câu 5. Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600km/ h . Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800km/ h . Biểu diễn vectơ vận tốc b của máy bay B theo vectơ vận tốc a của máy bay A Câu 6. Cho 2 điểm phân biệt A và B a) Xác định điểm O sao cho  3  0    OA OB b) Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có  3  4    MA MB MO Câu 7. Cho tam giác ABC a) Xác định các điểm M , N, P thỏa mãn:
1 , 3 , 2          MB BC AN NB CP PA b) Biểu thị mỗi vectơ ,   MN MP theo hai vectơ ,   BC BA c) Chứng minh ba điểm M , N, P thẳng hàng C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số. 1. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng. a) 1 2 CB  MA   b) 1 2 BA BC   c) 1 2 2 AB  AC   d) 3 2,5 4 MA MB   Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a . a) Chứng minh rằng u = 4MA- 3MB + MC -2MD      không phụ thuộc vào vị trí điểm M. b) Tính độ dài vectơ u  Dạng 2: Chứng minh đẳng thức vectơ. 1. Phương pháp giải Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng: Các tính chất phép toán vectơ Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ Tính chất trung điểm: M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ MA + MB = 0    M là trung điểm đoạn thẳng ABÛ OA +OB = 2OM    (Với O là điểm tuỳ ý) Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác ABCÛ GA  +GB  +GC  =O  G là trọng tâm của tam giác ABCÛ OA  +OB  +OC  =3OG  (Với O là điểm tuỳ ý) 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ .Chứng minh rằng:
a) AC + BD = 2IJ    b) OA +OB +OC +OD = 0      c) MA + MB + MC + MD = 4MO      với M là điểm bất kì Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 . Chứng minh rằng GG1 +GG2 +GG3 = 0     Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng a)HA + HB + HC = 2HO     b) OA +OB +OC = OH     c) GH + 2GO = 0    Dạng 3: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương. 1. Phương pháp giải. Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Đặt a = AB, b = AC     . a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: 1 , 2 3 AM = AB CN = BC     b) Hãy phân tích CM, AN, MN    qua các véc tơ a  và b  . c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM   . Chứng minh I,A,N thẳng hàng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM , trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN . G là trọng tâm tam giác ABC . a) Phân tích các vectơ AM, BN   qua các véc tơ AB  và AC  b) Phân tích các vectơ GC , MN   qua các véc tơ GA  và GB  Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các vectơ AN, MN, AG    qua các véc tơ AB  và AC  Dạng 4: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước. 1. Phương pháp giải. Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn mãn điều kiện vectơ ta quy về một trong các dạng sau
- Nếu MA = MB   với A, B phân biệt cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. - Nếu MC = k. AB   với A, B, C phân biệt cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng k. AB  . - Nếu MA = kBC   với A, B, C phân biệt và k là số thực thay đổi thì + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC với k Î R + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC  với k > 0 + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC  với k < 0 - Nếu MA = kBC, B 1 C   với A, B, C thẳng hàng và k thay đổi thì tập hợp điểm M là đường thẳng BC 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thỏa mãn : 2IA + 3IB + 4IC = 0     . b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA      . Ví dụ 2: Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau : a) MA + MB = MA + MC     b) MA + MB = k (MA + 2MB - 3MC )      với k là số thực thay đổi Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD . Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho AM = kAB, DN = kDC     . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi. Dạng 5: Toán thực tế Ví dụ 1. Máy bay A bay với vận tốc a, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A . Biểu diễn vectơ vận tốc b của máy bay B theo vectơ vận tốc a của máy bay A . Ví dụ 2. Một vật đồng chất được thả vào một cốc chất lỏng. Ở trạng thái cân bằng, vật chìm một nửa thể tích trong chất lỏng. Tìm mối liên hệ giữa trọng lực P của vật và lực đẩy Archimedes F mà chất lỏng tác động lên vật. Tính tỉ số giữa trọng lượng riêng của vật và của chất lỏng. D. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN Câu 1: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a. Tính 2OAOB .   A. a. B. 1 2  a. C. a 5. D. 2a 2. Câu 2: Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA  a. Khẳng định nào sau đây sai? A. 3OA 4OB  5a.   B. 2OA  3OB  5a.   C. 7OA 2OB  5a.   D. 11OA  6OB  5a.   Câu 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào