Tiêu đề Chuyên đề 6. SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN. TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.doc ✅

Tóm lại, cả 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn ()O . Ví dụ 3. Cho đường tròn ()O đường kính AB và dây AC. Trên tia AC lấy một điểm M sao cho C là trung điểm của AM. Chứng minh rằng khi điểm C di động trên đường tròn ()O thì điểm M nằm trên một đường tròn cố định. Giải Xét ABC có AB là đường kính của đường tròn ()O nên 90ACB . Xét ABM có BC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên ABM cân tại B. Suy ra BMBA (không đổi). Vậy điểm M nằm trên đường tròn (;)BBA . Đó là một đường tròn cố định. Nhận xét: Phương trình chứng minh một điểm nằm trên một đường tròn là chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi. Ví dụ 4. Cho đường tròn ()O và một điểm K cố định ở ngòai đường tròn. Đường thẳng KO cắt đường tròn tại A và B (A nằm giữa K và B). Gọi M là một điểm bất kì trên đường tròn. Chứng minh rằng KAKMKB . Giải Điểm K nằm ngoài đường tròn, điểm M nằm trên đường tròn OKOM . • Xét ba điểm M, K, O ta có: KMMOOK . Suy ra KMOKOM KMOKOA (vì OAOM ). Do đó KMKA (1) (dấu “=” xảy ra khi MA ). • Xét ba điểm M, O, K ta có: ;KMOKOMKMOKOB (vì OBOM ). Do đó KMKB (2) (dấu “=” xảy ra khi MB ). Từ (1) và (2) ta được KAKMKB Nhận xét: Trong các đoạn thẳng nối K với một điểm của đường tròn thì KA là đoạn thẳng ngắn nhất; KB là đoạn thẳng dài nhất. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Vẽ đường tròn đi qua A, B và có tâm D nằm trên đường thẳng AC. Vẽ đường tròn đi qua A, C và có tâm nằm trên đường thẳng AB. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng OADE . Giải Đường tròn ()D đi qua A và B nên: DADB (1) Đường tròn ()O đi qua A và B nên: OAOB (2) Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng OD là đường trung trực của AB, do đó ODAB . Chứng minh tương tự ta đựợc OE là đường trung trực của AC. Xét ADE có O là giao điểm của hai đường cao nên O là trực tâm, suy ra OADE . Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này dựa vào tính chất: Tâm của đường tròn đi qua hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ví dụ 6. Cho đường tròn (;)OR và 10 điểm bất kì 1210,,...,MMM . Chứng minh rằng tồn tại một điểm A trên đường tròn sao cho 1210...10AMAMAMR . Giải Vẽ đường kính CD. Ta có 2CDR . Xét ba điểm 1M , C, D ta có: 112CMDMCDR . Tương tự, 222CMDMCDR … 10102CMDMCDR . Cộng từng vế các bất đẳng thức ta được 12101210(...)(...)20CMCMCMDMDMDMR . • Nếu 1210...10CMCMCMR thì điểm A cần tìm là điểm C.
• Nếu 1210...10CMCMCMR thì 1210...DM10DMDMR . Khi đó điểm A cần tìm là điểm D. C. Bài tập vận dụng • Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn 6.1. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Biết rằng qua bốn điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng vẽ được một đường tròn. Chứng minh rằng cả năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. 6.2. Cho tứ giác ABCD có 90CD . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC và CA. Chứng minh rằng bốn điểm E, F, G, H cùng nằm trên một đường tròn. 6.3. Cho đường tròn (;)OR và một điểm A ở ngòai đường tròn. Lấy bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn ()O . Trên các tia AM, AN, AP, AQ lần lượt lấy các điểm ,,,MNPQ sao cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của ,,,AMANAPAQ . Chứng minh rằng bốn điểm ,,,MNPQ cùng nằm trên một đường tròn. 6.4. Cho hình thoi ABCD, 60A . Gọi E, F,G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm B, D, E, F, G, H cùng thuộc một đường tròn. 6.5. Cho hình chữ nhật ABCD, ,()ABaBCbab . Gọi H là hình chiếu của D trên AC và K là hình chiếu của C trên BD. a) Chứng minh rằng bốn điểm C, D, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi M là trung điểm của AB, tìm điều kiện của a và b để 5 điểm C, D, H, K và M cùng thuộc một đường tròn. 6.6. Cho tam giác ABC. Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, P, K, J cùng thuộc một đường tròn; b) Sáu điểm M, P, K, J, I, N cùng thuộc một đường tròn; c) Chín điểm M, P, K, J, I, N, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. • Chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định 6.7. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định, đường trung tuyến 1,5BMcm . Chứng minh rằng điểm A thuộc một đường tròn cố định. 6.8. Cho đường tròn (;3)Ocm . Lấy điểm A bất kì trên đường tròn. Qua A vẽ tia AxOA . Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB4cm . Gọi H là hình chiếu của A trên OB. Chứng minh rằng H thuộc một đường tròn cố định. 6.9. Cho đoạn thẳng AB4cm . Trên AB lấy điểm C sao cho AC1cm . Vẽ tia Cx, trên đó lấy điểm M sao cho AMCABM . Chứng minh rằng điểm M thuộc một đường tròn cố định. • Dựng đường tròn 6.10. Dựng đường tròn đi qua hai điểm A và B cho trước và có tâm nằm trên đường thẳng d cho trước. 6.11. Cho đường thẳng d và một điểm A cách d là 1cm. Dựng đường tròn ()O có bán kính 1,5cm đi qua A và có tâm nằm trên đường thẳng d. • Các dạng khác 6.12. Cho tam giác ABC. Trên tia BC lấy điểm M, trên tia CB lấy điểm N sao cho ,BMBACNCA . Vẽ đường tròn ()O ngoại tiếp tam gác AMN. Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác của góc BAC. 6.13. Cho hình thoi ABCD cạnh 1. Gọi 1R và 2R lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp tam giác ABD và ABC. Chứng minh rằng 2222 12124RRRR . 6.14. Cho 6 đường tròn cùng đi qua một điểm A. Chứng minh rằng có một hình tròn chứa tâm của một hình tròn khác. 6.15. Cho 99 điểm sao cho trong ba điểm bất kì nào cũng tồn tại hai điểm có khỏang cách nhỏ hơn 1. Chứng mình rằng trong các điểm đã cho có ít nhất 50 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1. 6.16. Đố. Hai người chơi một trò chơi như sau: Mỗi người lần lượt đặt một đồng xu lên một tấm bìa hình tròn. Người cuối cùng đặt được đồng xu lên tấm bìa là người thắng cuộc. Muốn chắc thắng thì phải chơi như thế nào? (Các đồng xu đều như nhau và không chồng lên nhau).