Tiêu đề Bài 14 Cung và dây của một đường tròn.pdf ✅

PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 1. Bài 14. CUNG VÀ DÂY CỦA MỘT ĐƯỜNG TRÒN PHẦN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Khái niệm dây và đường kính của đường tròn - Đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý của một đường tròn gọi là một dây (hay dây cung) của đường tròn CD. - Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn AB * Quan hệ giữa dây và đường kính Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất. 2. Góc ở tâm, cung và so đo của một cung - Khái niệm góc ở tâm và cung tròn Cho hai điểm A và B cùng thuộc một đường tròn. Hai điểm ấy chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (hay cung). Hai điểm A và B là hai mút (hay đầu mút) của mỗi cung dó. Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Kí hiệu AmB và AnB góc ở tâm AOB . Chú ý: - Khi góc AOB không bẹt thì cung nằm trong góc AOB gọi là cung nhỏ AmB . Kí hiệu AB . - Cung còn lại, AnB gọi là cung lớn. - Khi góc AOB bẹt thì mỗi cung AB được gọi là một nửa đường tròn. - Ta còn nói góc AOB chắn cung AB hay cung AB bị chắn bởi góc AOB . - Cách xác định số đo của một cung Số đo của một cung duọc xác dijnh như sau: - Số đo của nửa đường tròn bằng 180 . - Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. - Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360 và số đo của cung nhỏ có chung hai mút. - So đo của cung AB được kí hiệu sđ AB (hình vẽ trên). sđ AmB AOB    , sđ AnB 360     Chú ý: - Cung có số đo n  còn gọi là cung n  , cả đường tròn được coi là cung 360 . - Một điểm coi là cung 0  . - Hai cung trên một đường tròn gọi là bằng nhau nêu chúng có cùng số đo. PHẦN B. PHÂN LOẠI CÁC BÀI TẬP B O M N A n m A O B
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 2. 1. Các bài toán về chứng minh Bài toán 1. Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M tuỳ ý thuộc nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng khoảng cách từ M đến AB không lớn hơn 2 AB . Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với a b, 0  , ta có 2 a b ab   . Lời giải Gọi khoảng cách từ M đến AB là MH và bán kính đường tròn O là R . Ta có OM OA OB R   ( ). Đó đó AMB vuông tại M . Ta có MHA ∽ ( ) MH BH BHM g g HA HM     2 2 HA HB AB MH HA HB       2    MH HA HB (đpcm). Bài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N . Chứng minh MN < BC . Lời giải Dễ thấy các tam giác BMC và BNC đều là các tam giác vuông lần luợt tại M và N và OM ON , lần luợt là các trung tuyến. Ta có OM ON OB OC R    ( , trong đó R là bán kính đường tròn đường kính BC ) Xét tam giác MON , ta có MN OM ON   (bất đẳng thức tam giác) Mà OM ON OB OC BC     Vậy MN BC  . Ta có thể kết luận theo bài học: “Trong một đường tròn dây lớn nhất là đường kính”. Bài toán 3. Cho đường tròn ( ) O đuờng kính AB , dây CD không cắt đường kính AB . Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng CH DK  . Lời giải O H C B A A O C B M N
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 3. Kẻ OI  CD , tam giác COD cân tại O nên đường cao OI đường thời đường trung tuyến   IC ID . Lại có AHKB là hình thang vuông. ( AH BK HK // ( )  ) mà OI là đường trung bình nên I là trung điểm của HK ta có IH IK       HI CI KI ID CH DK hay Nhận xét: Do HI KI  và IC ID  nên ta có HI ID IK IC    hay HD KC  . Ta có bài toán sau: Cho đường tròn ( ) O đường kính AB , dây CD không cắt đường kính AB . Gọi H K, theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ AB, đến CD . Chứng minh rằng HD CK  (Học sinh tư giải). Trường hợp dây CD cắt đường kính AB đưa ta đến bài toán 4 sau đây. Bài toán 4. Cho đường tròn ( ) O đường kính AB , dây CD cắt đường kính AB tại E . Gọi H K, theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD . Chứng minh rằng CH DK  . Lời giải Kẻ OI CD  ta có IC ID  ( tam giác COD cân tại O nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến) OI KB // Gọi M là giao điểm của OI và AK ta có M là trung điểm của AK . Xét AKH có M là trung điểm của AK MI AH // ( vì cùng  CD )  I là trung điểm của HK hay IH IK  (2) Từ (1) và (2)     IC IH ID IK hay CH DK  Nhận xét: Theo bài toán 1. Trên dây CD ta lấy thêm điểm M . Khi đó OI OM  . Mà 2 AH BK OM   (tính chá t đường trung bình của hình thang)    AH BK OM 2 . Chúng ta sẽ có bài toán sau: Bài toán 5. Cho đường tròn ( ; ) O R đường kính AB . M là điểm cố định nằm trong đường tròn ( M khác O ) và CD là dây cung quay quanh M . Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A và B lên CD . Xác định vị trí của dây CD để AH BK  lớn nhất. Hướng dẫn: Kẻ OI CD  . Lời giải I K H B O A C D E M I K H B O A D C
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI CHI TIẾT CÁC DẠNG TOÁN 9 Trang: 4. Ta có AH BK , cùng vuông góc với CD  Tứ giác ABKH là hình thang và có OI là đường trung bình 2 2 AH BK OI AH BK OI      Ta có OI OM  (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) Dấu " =" xảy ra khi OM CD  Bài toán 6. Cho đường tròn (O). Các dây AB và CD bằng nhau, các tia BA và DC cắt nhau tại điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H K, lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh rằng MA MC  . Lời giải Ta có AB CD  (gt)   OH OK (liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm) Xét tam giác vuông MHO theo định lí Pythagore: 2 2 2 MH MO OH   Tương tự với MKO , ta có 2 2 2 MK MO OK =  mà OH OK MH MK    (1) Lại có OH AB  (gt) 2 AB    HA HB Tương tự 2 CD KC KD   mà AB CD    HA CK (2) Từ (1) và (2)     MH HA MK CK hay MA MC  Nhận xét: Trường hợp hai dây AB CD , không bằng nhau, chằng hạn AB CD  ta có bài toán sau: I K H B O A C D K H C A D O M B