Tiêu đề TACH DE HSG6 CHU DE 10 NGUYEN LY DIRICHLET PHAN 1.docx ✅

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 CHỦ ĐỀ 10: NGUYÊN LÝ DIRICHLET A. PHẦN NỘI DUNG Dạng 1: Dùng nguyên lý Dirichlet để chứng minh chia hết Bài 1: Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: 1210,,.....,.aaa Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10 . Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Lập dãy số Đặt 11Ba 212 3123 101210 .......................... ..... Baa Baaa Baaa    Nếu tồn tại 1,2,3....10iBi nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh Nếu không tồn tại iB nào chia hết cho 10 ta làm như sau: Ta đem iB chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư 1,2,3,...,9 ). Theo nguyên tắc Dirichle, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số mnBB chia hết cho 10mn (đpcm) Bài 2: Cho 2023 số tự nhiên bất kì: 1232023;;;...;aaaa . Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 2023 . Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2022 - 2023 Lời giải Đặt 11Ba 212Baa ………. 20231232023...Baaaa Nếu tồn tại 1;2;3;...;2023iBi nào đó chia hết cho 2023 thì bài toán được chứng minh Nếu không tồn tại iB chia hết cho 2023 ta làm như sau Ta đem iB chia cho 2023 sẽ được 2022 số dư (các số dư thuộc 1;2;3;...;2022 ). Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất hai số có số dư bằng nhau, giả sử hai số đó là mB ; và nB suy ra nmBBnm chia hết cho 2023 , mà nmBB là một số hoặc là tổng số các số liên tiếp ta được diều phải chứng minh . Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2015 . Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Lời giải Xét 2016 số : 2;22;222;;2222 số cuối cùng có 2016 chữ số 2 .
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 Các số này khi chia cho 2015 ta được 2016 số dư. Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2015 chỉ có thể có số dư là : 0;1;2;;2014 có 2015 khả năng dư. Do đó theo nguyên tắc Đrichlê tồn tại hai số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2015 . Hiệu của chúng có dạng 22220000 chia hết cho 2015 . Bài 4: Cho 2023 số tự nhiên bất kì: 1232023;;;...;aaaa . Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 2023 . Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2022 - 2023 Lời giải Đặt 11Ba 212Baa ………. 20231232023...Baaaa Nếu tồn tại 1;2;3;...;2023iBi nào đó chia hết cho 2023 thì bài toán được chứng minh Nếu không tồn tại iB chia hết cho 2023 ta làm như sau Ta đem iB chia cho 2023 sẽ được 2022 số dư (các số dư thuộc 1;2;3;...;2022 ). Theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất hai số có số dư bằng nhau, giả sử hai số đó là mB ; và nB suy ra nmBBnm chia hết cho 2023 , mà nmBB là một số hoặc là tổng số các số liên tiếp ta được diều phải chứng minh . Bài 5: Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2015 . Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Lời giải Xét 2016 số : 2;22;222;;2222 số cuối cùng có 2016 chữ số 2 . Các số này khi chia cho 2015 ta được 2016 số dư. Mà một số tự nhiên bất kỳ khi chia cho 2015 chỉ có thể có số dư là : 0;1;2;;2014 có 2015 khả năng dư. Do đó theo nguyên tắc Đrichlê tồn tại hai số trong các số trên có cùng số dư khi chia cho 2015 . Hiệu của chúng có dạng 22220000 chia hết cho 2015 . Bài 6: Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: 1210,,.....,.aaa Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10 . Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Lập dãy số Đặt 11Ba 212 3123 101210 .......................... ..... Baa Baaa Baaa    Nếu tồn tại 1,2,3....10iBi nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh Nếu không tồn tại iB nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 Ta đem iB chia cho 10 sẽ được 10 số dư (các số dư 1,2,3,...,9 ). Theo nguyên tắc Dirichle, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số mnBB chia hết cho 10mn (đpcm) Dạng 2: Dùng nguyên lý Dirichlet để chứng minh số bằng nhau B. PHẦN PHIẾU BÀI TẬP Dạng 1: Dùng nguyên lý Dirichlet để chứng minh chia hết Bài 1: Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: 1210,,.....,.aaa Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10 . Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Bài 2: Cho 2023 số tự nhiên bất kì: 1232023;;;...;aaaa . Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 2023 . Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2022 - 2023 Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2015 . Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Bài 4: Cho 2023 số tự nhiên bất kì: 1232023;;;...;aaaa . Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 2023 . Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2022 - 2023 Bài 5: Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên chỉ được viết bởi chữ số 2 và chữ số 0 mà số đó chia hết cho 2015 . Trích đề HSG huyện Sông Lô năm 2015 - 2016 Bài 6: Cho 10 số tự nhiên bất kỳ: 1210,,.....,.aaa Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc một tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy đều chia hết cho 10 . Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Dạng 2: Dùng nguyên lý Dirichlet để chứng minh số bằng nhau
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 1 C. SƯU TẦM CÁC BÀI TRONG CÁC ĐỀ CỦA NHỮNG NĂM TRƯỚC ĐÓ (Phần này lấy các câu từ những năm trước, trước năm 2020-2021, tối thiểu 5 bài) Bài 1: Chứng minh rằng: Trong 7 số tự nhiên liên tiếp luôn tìm được một số chia hết cho 7 . Lời giải Giả sử không tìm được số nào trong 7 số tự nhiên liên tiếp đã cho mà chia hết cho 7 . Khi đó 7 số này chia cho 7 chỉ nhận được nhiều nhất là 6 số dư khác nhau 1,2,3,...,6 , theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số chia hết cho 7 có cùng số dư, chẳng hạn là a và b với ab , khi đó –ab chia hết cho 7 , mà 07ab nên mẫu thuẫn. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài 2: Cho sáu số nguyên dương đôi một khác nhau và đều nhỏ hơn 10 . Chứng minh rằng luôn tìm được 3 số trong đó có một số bằng tổng hai số còn lại. Lời giải Gọi sáu số nguyên dương đã cho là 123456,,,,,aaaaaa (với 126100...aaa ). Đặt 23456{,,,,}Aaaaaa gồm 5 phần tử có dạng ma với {2,3,4,5,6}m . Đặt 2131415161{,,,,}Baaaaaaaaaa gồm 5 phần tử có dạng 1naa với {2;3;4;5;6}n . Ta thấy các phần tử của hai tập hợp A và B đều thuộc tập hợp gồm 9 phần tử {1;2;3;...;9} trong khi tổng số phần tử của hai tập hợp A và B là 5510 . Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số bằng nhau mà chúng không thể thuộc cùng một tập hợp, nên có một số thuộc tập hợp A bằng một số thuộc tập hợp B , tức là 1mnaaa , do đó 1nmaaa . Ba số 1,,mnaaa đôi một khác nhau. Thật vậy, mnaa vì nếu mnaa thì 10a trái với giả thiết của bài toán. Vậy tồn tại ba số 1,,mnaaa trong các số đã cho mà 1nmaaa (đpcm). Bài 3: Cho n số nguyên dương đôi một khác nhau và đều nhỏ hơn 22n . Chứng minh rằng luôn tìm được 3 số sao cho một số bằng tổng hai số còn lại. Lời giải Gọi n số nguyên dương đã cho là 123,,.....naaaa (với 120...22naaan ). Đặt 234{,,,...,}nAaaaa gồm 1n phần tử có dạng ma với {2,3,4,...,}mn . Đặt 2131411{,,,...,}nBaaaaaaaa gồm 1n phần tử có dạng 1maa với {2;3;4;...;}mn . Ta thấy các phần tử của hai tập hợp A và B đều thuộc tập hợp gồm 23n phần tử {1;2;3;...;23}n trong khi tổng số phần tử của hai tập hợp A và B là 1122nnn . Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai số bằng nhau mà chúng không thể thuộc cùng một tập hợp, nên có một số thuộc tập hợp A bằng một số thuộc tập hợp B , tức là 1kmaaa , do đó 1mkaaa . Ba số 1,,mkaaa đôi một khác nhau. Thật vậy, mkaa vì nếu mkaa thì 10a trái với giả thiết của bài toán. Vậy tồn tại ba số 1,,mkaaa trong các số đã cho mà 1mkaaa (đpcm).