Tiêu đề ПЛ15 Метод Мора.pdf ✅

Автор Григор’єва Л.О. Л15 МЕТОД МАКСВЕЛА-МОРА ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ
1. ОСНОВНИЙ І ОДИНИЧНИЙ СТАН Розглянемо довільну плоску стержневу систему, навантажену заданими силами Р (рис. 15.1 а). Внутрішні зусилля в перерізах від зовнішнього навантаження позначимо за МР NP QP , , (рис. 15.1 б). Нехай потрібно визначити переміщення iP точки m стержневої системи по напрямку і-і від прикладеного навантаження. Введемо допоміжний стан, що являє собою задану систему, навантажену лише узагальненою силою =1 Хі в точці m (рис. 15.1 в). Відповідні внутрішні зусилля позначаємо через Мі Nі Qі , , . З (14.13) маємо     = + + s і Р y s і Р s і Р і Р GA Q Q d s k EI M M d s EA N N d s 1 . (15.1) (15.1)- загальна формула для визначення переміщень плоскої стержневої системи. Інтеграли, що входять до її складу, називаються інтегралами Мора. Знак суми означає сумування інтегралів по всіх стержнях системи. а) P m Xi=1 1 i m i Рис. 15.1 б) в)
2. ІНТЕГРАЛИ МОРА Для довгих балок при визначенні переміщень прийнято інтегралами від поздовжніх та поперечних сил нехтувати. В просторовому випадку без врахування інтегралів від сил маємо . y z k     = + + s k і kР s z і zР s y і yР і Р GI M M ds EI M M ds EI M M ds (15.2) Інтеграли Мора (15.1) та (15.2) на кожній ділянці стержневої системи можуть визначатися трьома способами: - шляхом безпосереднього множення рівнянь моментів; - способом Верещагіна множення епюр С і Р РМі  M M dх =  , (15.3) де Р - площа ділянки вантажної епюри М Р , С Мі - значення одиничної епюри під центром ваги вантажної (рис. 15.2 а). Даний спосіб підходить для ділянок простої форми, для яких легко визначити положення центру ваги та значення епюри в цій точці. - За формулою Сімпсона-Карнаухова множення епюр ( 4 ) 6 к і к Р с і с Р п і п і Р МРМ М М М М l M M dх = + +  , (15.4) де l- довжина ділянки, індекси “п”, “с”, “к” відповідають значенням епюр на початку, посередині та на кінці ділянки відповідно (рис. 15.2 б). Формула (15.4) випливає з апроксимаційних методів обчислень, і при множенні епюр параболічної або лінійної форми дає точний результат. Еп. Еп. Рис. 15.2 а) Еп. Еп. б)
3. ПОРЯДОК ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ Отримуємо наступний порядок визначення переміщень за допомогою методу Максвела-Мора: 1. Визначаємо внутрішні зусилля та будуємо епюри МР NP QP , , . Для довгих балок достатньо лише епюр моментів (в тому числі крутильних для просторового випадку). 2. Навантажуємо систему узагальненою силою =1 Хі в точці m (рис. 15.1 в) в напрямку шуканого переміщення (для лінійних переміщень вводимо одиничну силу, для кутів повороту - одиничний момент). Визначаємо відповідні внутрішні зусилля і будуємо епюри Мі Nі Qі , , . 3. Записуємо формулу (15.2) для визначення переміщення іР та виконуємо множення епюр одним з вище описаних способів (формула (15.3) для простих фігур та (15.4) для парабол і трапецій). Розбиття на ділянки повинно бути спільним для обох епюр, що множаться. Зазвичай воно включає характерні точки прикладання навантаження плюс точка визначення переміщень. Знак добутку буде додатнім, якщо епюри знаходяться з одного боку від вісі балки. В загальному випадку жорсткості (знаменники інтегралів) на різних ділянках можуть бути різними. Якщо знайдене переміщення додатнє, то його напрямок відповідає введеній одиничній силі; і навпаки, якщо знак від’ємний, то напрямок переміщення протилежний до введеної сили.