Tiêu đề +S4 EXAMENS ENSAJ Eléctromagnétisme ENSA ELJADIDA.pdf ✅

1 Electromagnétisme Examen (durée : 2H) 1) Milieux magnétiques (12 pts) Considérons un cylindre conducteur non magnétique d’axe Oz, de rayon R1 et de longueur infinie, parcouru en sa surface latérale par un courant de densité surfacique ⃗ ⃗ où k est une constante positive. Ce cylindre est entouré d’une couche cylindrique de matériau magnétique parfait de susceptibilité magnétique et de rayons R1 et R2 (voir figure). On admettra que les lignes de champ sont des cercles de centre O et de rayon r. 1. Calculer en fonction de k, R1, r,  et du vecteur unitaire adéquat, dans les trois régions de l’espace (r < R1, R1 < r < R2 et r > R2), le vecteur excitation magnétique ⃗ , le champ magnétique ⃗ , le champ magnétique ⃗ créé par les courants réels et le champ démagnétisant ⃗⃗⃗ . 2. Les relations de passage : entre le milieu (1) et le milieu (2) entre le milieu (2) et le milieu (3) sont-elles vérifiées ? Justifier votre réponse. 3. Calculer le vecteur aimantation ⃗ à l’intérieur du matériau magnétique. 4. En déduire : a) les densités surfaciques des courants de magnétisation ⃗ sur la surface interne et ⃗ sur la surface externe du matériau magnétique ; b) la densités volumique des courants de magnétisation ⃗ . On donne : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 5. Retrouver à partir des courants de magnétisation, l’expression du champ démagnétisant ⃗⃗⃗ dans les trois régions de l’espace (r < R1, R1 < r < R2 et r > R2). 2) Phénomènes d’induction magnétique (8 pts) Sur les rails conducteurs, rectilignes, parallèles, situés dans un plan horizontal, peut glisser une tige conductrice AA’ de longueur l = 20cm qui leur est perpendiculaire. Les extrémités du rail sont reliées aux bornes d’un générateur qui débite un courant I = 3A. L’ensemble du UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES D’EL JADIDA CIP–S2 2011/2012 ⃗ ⃗ ⃗ R2 r P R1 O (1) (2) (3)
2 l A B R I A B (a) (b) A’ A’ circuit est soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme B = 0,5T perpendiculaire aux rails (figure a). 1. Donner l’expression de la force magnétique F  qui s’exerce sur la tige AA’. Faire l’application numérique. 2. Le générateur est retiré du circuit qui est formé par un conducteur ohmique de résistance R = 2. Le circuit est toujours placé dans le champ magnétique B  AA'. Le conducteur AA’ est déplacé en restant perpendiculaire aux deux rails avec une vitesse constante v = 2cm/s (figure b). Sur le circuit, on adopte le sens positif A’→A. a) Donner l’expression du champ électromoteur Em  dont le conducteur AB est le siège. b) Calculer la force électromotrice e. c) Quel est le sens du courant induit dans le circuit et donner son expression ? Faire l’application numérique. d) Montrer qu’une force magnétique F  s’exerce sur la tige AA’ au cours de son déplacement. En préciser le sens et calculer son module. La loi de Lenz est-elle vérifiée ? Justifier votre réponse. On supposera le vecteur B  constant au cours de l’expérience. Solution 1) Milieux magnétiques 1. Dans l’application du théorème d’Ampère, il faut toujours choisir un contour sur lequel H garde une norme constante et a la même direction que dl ou sur lequel H est orthogonal à dl. Ici, on choisit donc un contour () circulaire ayant la même direction que les lignes de champ. P r z’ z R1 k O H () u R2 z ur u
3 Théorème d’Ampère généralisé : int H.dl I ( )    H tangent à dl et garde la même norme sur () donc H.dl H r r ( )  ( )2   3 cas doivent être considérés : 1 er cas r < R1 : H2r  0 soit H(P)  0 d’où B(P)  0, B0 (P)  0 et B(P)  B(P)  B0 (P)  0 2 ème cas R1 < r < R2 : 2 2 R1 H r  k  soit u r R H P k  1 ( )  d’où      u r R B P H P k   1 ( )  ( )  0 1 ,   u r R B P H P k  1 0 0 0 ( )  ( )  et   u r R B P B P B P k  1 0 0 ( )  ( )  ( )  3 ème cas r > R2 : 2 2 R1 H r  k  soit u r R H P k  1 ( )  d’où   u r R B P H P k   1 0 0 ( )  ( )  ,   u r R B P H P k  1 0 0 0 ( )  ( )  et B(P)  B(P)  B0 (P)  0 2. Vérification des relations de passage u H H r   ( ) avec  u  un vecteur tangent aux surfaces de séparation en r = R1 et r = R2. La surface en r = R1 est parcourue par un courant réel ( k  kuz ), d’où la discontinuité des composantes tangentielles de H et donc de u H H r  ( )  1 et u H H r  ( )  2 à la traversée de cette surface. Tandis que la surface en r = R2 n’est parcourue par aucun courant réel d’où la continuité des composantes tangentielles de H et donc de u H H r  ( )  2 et u H H r  ( )  3 à la traversée de cette surface. On vérifie alors que : H1t (R1 )  H1 (R1 )  0 et k R R H R H R k t    1 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , d’où H H k 2t  1t  . De même, on vérifie que : 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) R R H R H R k t   et 2 1 3 2 3 3 ( ) ( ) R R H R H R k t   d’où H3t  H2t  0. 3. Le vecteur aimantation M (P) à l’intérieur du matériau magnétique est
4   u r R M P H P k  1 ( )  ( )  4. a) Les densités surfaciques des courants de magnétisation sont : sur la surface interne :  r uz u u k R R k M R N k               1 1 1 1 1 ( ) sur la surface externe : r uz R R u u k R R k M R N k     2 1 2 1 2 2 2   ( )        b) La densité volumique des courants de magnétisation est 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1                               z u r R k r z r u u u k R r R k r rotu u k R grad r R u k r R j rot k           . 5. La symétrie de la distribution des courants fictifs de magnétisation permet l’application du théorème d’Ampère pour le calcul du champ démagnétisant B  , soit : B'.dl I'(r) ( ) 0   1 er cas r < R1 : B2r  0 soit B(P)  0 2 ème cas R1 < r < R2 : 2 0 12 1 0 2 R1 B r   k R   k  soit   u r R B P k  1 0 ( )  3 ème cas r > R2 : B2r  k1 2R1  k2 2R2  k2R1  k2R1  0 soit B(P)  0 2) Phénomènes d’induction magnétique 1. La force électromagnétique F  qui s’exerce sur la tige AA’ est x z Buy F I A A B I u Bu I        '      Application numérique : F = 0,3N 2. Le générateur est retiré du circuit qui est formé par un conducteur ohmique de résistance R = 2. Le circuit est toujours placé dans le champ magnétique B  AA'. Le conducteur AA’ est déplacé en restant perpendiculaire aux deux rails avec une vitesse constante v = 2cm/s. Sur le circuit, on adopte le sens positif A’→A. a) Le champ électromoteur Em  dont le conducteur AA’ est le siège s’écrit : m y z ux E v B vu Bu vB          b) La force électromotrice est e V V v Bdl vBu u vBl x x A A  A  A            . . ' '