Tiêu đề 11. Cálculo de sumas y diferencias 2.pdf ✅

1 Cálculo de sumas y diferencias Diseñado por: David Díaz Cálculo de sumas y diferencias 2 Note que esta idea la podemos desarrollar aún más, si h = 1, entonces para cualquier n Δf(n) = f(n + 1) − f(n) Esto como consecuencia inmediata permite que podamos hacer un Triángulo de Pascal para las diferencias f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) .... Δf(0) Δf(1) Δf(2) Δf(3) ... Δ 2f(0) Δ 2f(1) Δ 2f(2) ... Δ 3f(0) Δ 3f(1) ... ... Vea que claramente Δ 2f(0) = Δ(Δf(0)) = Δf(1) − Δf(0) porque es la diferencia en altura de la función Δf(0) a Δf(1). Para x 2 , por ejemplo, se tendría 0 1 4 9 16 .... 1 3 5 7 ... 2 2 2 ... 0 0 ... ... De modo que el cálculo de diferencias grandes se pueda hacer de una forma más sencilla
2 Cálculo de sumas y diferencias Diseñado por: David Díaz Funciones factoriales: Las funciones factoriales van a ser un recurso muy útil para representar una función polinómica en una polinómica factorial. Primero que nada, definamos las funciones factoriales: x (m) = { x(x − h)(x − 2h)(x − 3h) ... (x − (m − 1)h) si m ≥ 1 1 si m = 0 Además, se tiene que x (−m) = 1 (x + h)(x + 2h)(x + 3h) ... (x + mh) = 1 (x + mh) (m) La razón por las que nos interesa este tipo de funciones es porque son muy fáciles de calcular sus diferencias, de hecho, Δx (m) = mx (m−1)h, que es muy similar a la derivada de un polinomio. Veamos por qué la diferencia es esa: Δx (m) = (x + h) (m) − x (m) Δx (m) = (x + h)(x + h − h)(x + h − 2h) ... (x + h − (m − 1)h) − x(x − h)(x − 2h)(x − 3h) ... (x − (m − 1)h) Δx (m) = (x + h)(x)(x − h)(x − 2h) ... (x − mh + 2h) − x(x − h)(x − 2h)(x − 3h)... (x − mh + 2h)(x − mh + h) Δx (m) = (x)(x − h)(x − 2h) ... (x − mh + 2h)[(x + h) − (x − mh + h)] Δx (m) = (x)(x − h)(x − 2h) ... (x − mh + 2h)[mh] Δx (m) = (x)(x − h)(x − 2h) ... (x − h(m − 2))[mh] Δx (m) = x (m−1)mh Δx (m) = mx (m−1)h Esa sería la prueba. Entonces, parece bastante conveniente trabajar con funciones polinómicas factoriales y no con funciones polinómicas, para nuestra suerte existe una forma de traducir una expresión polinómica a su equivalente polinómico factorial y es lo que veremos ahora: Usaremos un ejercicio para ilustrar esa idea Ejercicio Escribir x 3 + 2x 2 − 3x + 1 como combinación lineal de x − 1, esto es, halle los coeficientes de la siguiente expresión x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = a(x − 1) (3) + b(x − 1) (2) + c(x − 1) (1) + d Sabiendo que h = 1 RESPUESTA: Como h = 1, se tiene que la función factorial (x − 1) (3) = (x − 1)(x − 2)(x − 3),
3 Cálculo de sumas y diferencias Diseñado por: David Díaz (x − 1) (2) = (x − 1)(x − 2) y (x − 1) (1) = (x − 1) Entonces, realmente lo que buscamos es: x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = a(x − 1)(x − 2)(x − 3) + b(x − 1)(x − 2) + c(x − 1) + d Ahora bien, ¿cómo hacemos para encontrar dichos coeficientes? Existen dos maneras, una de ellas te explica con mucho detenimiento cómo se halla cada coeficiente, la otra es mucha más directa y sencilla de aplicar, pero menos explicativa, haremos ambas Explicativa Vamos a reescribir el polinomio x 3 + 2x 2 − 3x + 1 como si 1 fuera raíz del mismo, esto es (x − 1)(ax 2 + bx + c) + d = x 3 + 2x 2 − 3x + 1 ax 3 − ax 2 + bx 2 − bx + cx − c + d = x 3 + 2x 2 − 3x + 1 ax 3 + (b − a)x 2 + (c − b)x + (d − c) = x 3 + 2x 2 − 3x + 1 Note que a = 1 a la fuerza, luego que entonces b − a = 2, así que b = 2 + a, o sea, b = 3 También que c − b = −3, que es c = −3 + b, o sea, c = 0, luego d − c = 1 que d = 1 + c, o sea d = 1 Al final todo queda en que (x − 1)(x 2 + 3x) + 1 = x 3 + 2x 2 − 3x + 1 Después de eso, haríamos lo mismo con el polinomio más interno, es decir, x 2 + 3x, pero suponiendo que x = 2 es raíz. (x − 2)(ax + b) + c = x 2 + 3x ax 2 + bx − 2ax − 2b + c = x 2 + 3x ax 2 + (b − 2a)x + (c − 2b) = x 2 + 3x De aquí, a = 1, b − 2a = 3, así que b = 3 + 2a, que es b = 5, luego, c − 2b = 0, esto es c = 2b, c = 10 Entonces, x 2 + 3x = (x − 2)(x + 5) + 10 Nuestro polinomio va quedando de la siguiente manera x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)(x 2 + 3x) + 1 x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)((x − 2)(x + 5) + 10) + 1 Finalmente, hacemos lo mismo para el más interno x + 5, suponemos que x = 3 es raíz, entonces (x − 3)(a) + b = x + 5 ax − 3a + b = x + 5 ax + (b − 3a) = x + 5 Entonces, a = 1, b − 3a = 5, que es b = 5 + 3a, que es b = 8
4 Cálculo de sumas y diferencias Diseñado por: David Díaz Entonces, x + 5 = (x − 3) + 8 Que es bastante evidente, pero es por seguir la idea. Finalmente, nuestro polinomio sufrió todos estos cambios x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)(x 2 + 3x) + 1 x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)((x − 2)(x + 5) + 10) + 1 x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1) ((x − 2)((x − 3) + 8) + 10) + 1 Si resolvemos la distributiva veremos que x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)((x − 2)(x − 3) + 8(x − 2) + 10) + 1 x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) + 8(x − 1)(x − 2) + 10(x − 1) + 1 Consiguiendo así los coeficientes para la combinación lineal de funciones factoriales, así que x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1) (3) + 8(x − 1) (2) + 10(x − 1) (1) + 1 Así que la función ya podría ser fácilmente diferenciable Ahora bien, este método si se analiza bien, se puede reconocer patrones y quizás puedas llegar a un procedimiento más esquemático para conseguir los coeficientes, este mismo problema se le presentó a Ruffini en 1809, de hecho, ese procedimiento que hicimos fue la forma larga y clara de cómo funciona el Método de Ruffini para determinación de raíces de un polinomio de grado n. Ruffini: Veamos cómo se resolvería por Ruffini y cómo es posible que sea lo mismo Escribimos el polinomio y suponemos que x = 1 es una raíz Note que lo que nos dice Ruffini es que x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = (x − 1)(x 2 + 3x) + 1 Y note que el cálculo de cada coeficiente se hace tal cual como lo hicimos anteriormente, ese decir a = 1, b = 2 + a ⇒ b = 2 + 1 = 3 c = −3 + b ⇒ c = −3 + 3 = 0 d = 1 + c ⇒ d = 1 + 0 = 1 Dando como resultados los mismos coeficientes, con el mismo método en verdad. Es decir, en el apartado de arriba demostramos Ruffini, o más bien, cómo funciona. 1 2 − 3 1 1 1 3 0 1 3 0 1