Tiêu đề 5. Tích vô hướng của 2 vecto-ĐỀ HS.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 1/9 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: a) Góc giữa hai vectơ. Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b . Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b . + Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 0 0 đến 0 180 ). + Kí hiệu: a b; b) Tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a b a b a b . .cos( , ). 2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a b c , , và mọi số thực k ta luôn có: a b b a a b c a b a c ka b k a b a kb a a a 2 2 1) . . 2) ( ) . . 3) ( ) ( . ) ( ) 4) 0, 0 0 Chú ý: Ta có kết quả sau: + Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a b a b. 0 + a a a a 2 2 . gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a . + a b a a b b a b a b a b 2 2 2 2 2 ( ) 2 . , ( )( ) 3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu. Cho hai vectơ AB CD , . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có ABCD A B CD . ' '. b) phương tích của một điểm với đường tròn. Cho đường tròn O R; và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức MAMB . được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O R; . Kí hiệu là PM O/ . Chú ý: Ta có / P MAMB MO R MT M O . 2 2 2 với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho hai vectơ a x y 1 1 ( ; ) và b x y 2 2 ( ; ) . Khi đó 1) a b x x y y 1 2 1 2 . 2) a x y a x y 2 2 ( ; ) | | 3) a b x x y y a b a b x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 . cos( , ) Hệ quả: + a b x x y y 1 2 1 2 0 + Nếu A x y A A ( ; ) và B x y B B ( ; ) thì AB x x y y B A B A 2 2 ( ) ( ) B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1-Dạng 1: Tìm góc giữa hai vectơ
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 2/9 Phương pháp: Dùng định nghĩa và tính chất của góc giữa hai vectơ Ví dụ 1: Cho ABC đều. Tìm a) ( , ) AB AC b) ( , ) AB BC c) sin , (BC AC) d) Gọi H là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC . Tìm ( , ) AH BC , ( , ) GA CG e) cos , cos , cos , ( AB AC BA BC CB CA ) + + ( ) ( ). Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2: Cho ABC vuông tại A và có 0 B = 40 Tìm a) Tìm (CA CB , ) b) Tính ( AB BC , ) Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3: Cho ABC có 0 A =120 . Tìm tổng ( AB BC BC CA , , ) + ( ) . Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O Tính tổng ( AB DC AD CB CO DC , , , . ) + + ( ) ( ) Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 5: Tam giác ABC có góc A bằng o 100 và có trực tâm H. Tính tổng ( HA HB HB HC HC HA , , , . ) + + ( ) ( ) Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2-Dạng 2: Tìm tích vô hướng của hai vectơ Phương pháp: -Xác định góc giữa hai vec tơ -Dùng hệ thức lượng trong tam giác tìm độ dài vectơ -Dùng định nghĩa tích vô hướng hai vectơ Ví dụ 1: Tìm điều kiện của uv, để: a) u v u v . . = . b) u v u v . . = − . Lời giải

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Trang 4/9 Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a .Tính a) AB AC . b) AC BD. c) AB AO . d) AB BO. Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 9: Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau: a) ( )( ) AB AD BD BC + + b) CG CA DM .( + ) Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có BC a CA b AB c = = = , , . M là trung điểm của BC , D là chân đường phân giác trong góc A . a) Tính AB AC . , rồi suy ra cos A. b) Tính 2 AM và 2 AD Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 11 : Cho tam giác ABC có AB a AC a = = 4 , 3 và BAC 60 . = Gọi I là điểm thỏa mãn IB IC + = 2 0. Tính độ dài đoạn thẳng AI. Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 12 Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3 . Lấy các điểm M , N lần lượt trên các cạnh BC , CA sao cho BM =1, CN = 2 . Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN . Tính độ dài PN . Lời giải ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Ví dụ 13: Cho hình thang cân ABCD có CD AB a a = =  2 2 , 0 ( ), 0 DAB =120 , AH CD ⊥ , H CD  . Tính AH CD AD . 4 ( − ). Lời giải