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Université Sultan Moulay Slimane Faculté Polydisciplinaire Khouribga TD-1 Quantique SMP-S5 Enseignant : A. Hasnaoui Exercice 1 Exercice 2
Exercice 3 Soit une particule de masse m assujettie à se déplacer dans un plan xOy, à l'intérieur d'une boite carrée de côté a, elle est alors soumise au potentiel suivant:        si x y carré si x y carré V x y ( , ) 0 ( , ) ( , ) 1- Montrer que l'Hamiltonien H de cette particule peut s'écrire sous la forme: H  Hx  H y où Hx et Hy sont deux opérateurs à déterminer. 2- Déterminer les états propres de H ainsi que les valeurs propres qui leurs sont associées. 3- Étudier le degré de dégénérescence de l'état fondamental et des premiers niveaux excités. Exercice 4 On veut étudier une particule quantique de masse m, confinée dans une boite cubique de l'espace. Dans cette portion règne un potentiel nul et en dehors le potentiel est infini.            ailleurs pour x a y a et z a V x 0 0 , 0 0 ( ) 1) Quelle est la probabilité de trouver la particule dans la région où le potentiel est infini? 2) Les fonctions d'ondes solutions de l'équation aux énergies sont de la forme : (x, y,z) A (x).B ( y).C (z)   n l m avec n, l, m des entiers non nuls. L'Hamiltonien est alors H  Hx  Hy  Hz et l'énergie est Enlm  En  El  Em . Donner les fonctions propres et les valeurs propres de H. 3) Normaliser la fonction d'onde  (x, y,z) 4) Etudier la multiplicité (la dégénérescence) des 3 premiers niveaux d'énergie. On mettre le résultat sous forme de tableau. Exercice 5 On considère 2 particules de masse M n'interagissant pas entre elles et soumises à un potentiel 2 2 2 1 V(x)  M x . L'Hamiltonien du système est donné par H  H1  H2 , Hi est l'Hamiltonien de la particule i. 1) A quelle grandeur physique est associé H? donner les expressions de H1 et H2. 2) On appelle  n l'état propre de H1, correspondant à la valeur propre En, dans l'espace des états 1  ,  p l'état propre de H2, correspondant à la valeur propre Ep, dans l'espace des états 2  . L'état propre de H est défini par le ket  n   p   n, p appartenant à l'espace 1 2     appelé produit tensoriel de 1  et 2  .
Les actions de H1 et H2 sur  n, p sont telles que :   ) 2 1 ( H1 n, p  En n, p où En  n    ) 2 1 ( H2 n, p  Ep n, p où Ep  p  n et p sont des entiers. Ecrire l'équation aux valeurs propres de H. 3) Quel est le degré de dégénérescence des niveaux d'énergie : , 2, 3 . Ecrire les kets propres  n, p correspondant à ces trois niveaux d'énergie. 4) Lesquels des ensembles suivants forment un E.C.O.C: H1 dans 1  ?, H2  dans 2  ?, H1 et H2  dans 1 2     ?, H1 ,H2  dans  ? H dans  ? Et H1 ,H dans  ? 5) L'état du système à l'instant t = 0 est : ( ) 2 1 (0)   0,0  0,1  1,0  1,1 . a) Quels résultats peut-on trouver quand on mesure l'énergie du système à l'instant t = 0? Avec quelles probabilités? b) Même question pour l'énergie de la particule 1. 6) La mesure de l'énergie à l'instant t = 0 a donné le résultat 2 . a) Quelle est l'influence de la mesure ? En déduire l'état du système à l'instant t quelconque. b) Calculer l'instant t la valeur moyenne de l'énergie de la particule 1.
Solutions Ex 1 Exo 2: (passage à 2D)