Tiêu đề Ham nhieu bien - Dao ham rieng, cuc tri, vi phan.pdf ✅

Đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm hợp F(x, y) = f (u(x, y), v(x, y)). Khi đó, ta có    ∂F ∂x = ∂f ∂u · ∂u ∂x + ∂f ∂v · ∂v ∂x ∂F ∂y = ∂f ∂u · ∂u ∂y + ∂f ∂v · ∂v ∂y Ví dụ 2.4 Cho u = x + y, v = x − y, và f(u, v) = u 2 + 3v. Xét hàm hợp F(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)). Tính ∂F ∂x và ∂F ∂y . • Tính các đạo hàm riêng của f: ∂f ∂u = 2u, ∂f ∂v = 3 • Tính các đạo hàm riêng của u và v: ∂u ∂x = 1, ∂u ∂y = 1, ∂v ∂x = 1, ∂v ∂y = −1 • Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp: ∂F ∂x = ∂f ∂u · ∂u ∂x + ∂f ∂v · ∂v ∂x = 2u · 1 + 3 · 1 = 2(x + y) + 3 ∂F ∂y = ∂f ∂u · ∂u ∂y + ∂f ∂v · ∂v ∂y = 2u · 1 + 3 · (−1) = 2(x + y) − 3 Đạo hàm của hàm ẩn: • Với một số điều kiện, hệ thức F(x, y) = 0 xác định một hàm số ẩn y = y(x). Ta có: y ′ (x) = − F ′ x (x, y) F′ y (x, y) • Với một số điều kiện, hệ thức F(x, y, z) = 0 xác định một hàm số ẩn z = z(x, y). Ta có: z ′ x (x, y) = − F ′ x (x, y, z) F′ z (x, y, z) , z′ y (x, y) = − F ′ y (x, y, z) F′ z (x, y, z) Đạo hàm riêng cấp cao: ∂ ∂x ∂f ∂x = ∂ 2 f ∂x2 = f ′′ x , ∂ ∂y ∂f ∂x = ∂ 2 f ∂y∂x = f ′′ xy, ∂ ∂x ∂f ∂y = ∂ 2 f ∂x∂y = f ′′ yx, ∂ ∂y ∂f ∂y = ∂ 2 f ∂y2 = f ′′ y , . . . Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng ∂ 2 f ∂x∂y , ∂ 2 f ∂y∂x trong miền D và nếu các đạo hàm riêng ấy liên tục tại điểm M0 ∈ D, thì tại điểm ấy ta có: ∂ 2 f ∂x∂y = ∂ 2 f ∂y∂x. 2

Hình 1: Cực đại và cực tiểu của hàm hai biến Điều kiện đủ của cực trị: Giả sử (x0, y0) là điểm tới hạn của f(x, y). Đặt H =     ∂ 2 f ∂x2 (x0, y0) ∂ 2 f ∂x∂y (x0, y0) ∂ 2 f ∂x∂y (x0, y0) ∂ 2 f ∂y2 (x0, y0).     Lúc đó ta có: • Nếu ( h11 > 0 |H| > 0 thì điểm (x0, y0) là điểm cực tiểu. • Nếu ( h11 < 0 |H| > 0 thì điểm (x0, y0) là điểm cực đại. Nếu H < 0 thì điểm (x0, y0) không phải là điểm cực trị của f(x, y). Ví dụ 4.2 Cho f(x, y) = x 2 + y 2 + xy. Ta có: fx = 2x + y, fy = 2y + x Giải hệ: ( 2x + y = 0 2y + x = 0 ⇒ x = y = 0 Do đó, ta có duy nhất một điểm tới hạn là x = y = 0. Tính các đạo hàm cấp hai: fxx = 2, fyy = 2, fxy = 1 Ma trận H H = 2 1 1 2 Do đó, f(x, y) có cực tiểu tại (0, 0) và giá trị cực tiểu là 0. 4