Tiêu đề Chương 7_Bài 1. _Đề bài_Toán 11_CD.pdf ✅

CHƯƠNG VII. ĐẠO HÀM BÀI 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm a) Bài toán tìm vận tốc tức thời Từ vị trí O (ở một độ cao nhất định nào đó), ta thả một viên bi cho rơi tự do xuống đất và nghiên cứu chuyển động của viên bi. Bằng việc chọn trục Oy theo phương thẳng đứng, chiều dương hướng xuống đất, gốc O là vị trí ban đầu của viên bi, tức là tại thời điểm 0 giây, và bỏ qua sức cản không khí, ta nhận được phương trình chuyển động của viên bi là ( ) 1 2 2 y f x gx = = ( g là gia tốc rơi tự do, 2 g m s  9,8 / ). Giả sử tại thời điểm 0 x , viên bi ở vị trí M0 có y f x 0 0 = ( ) ; tại thời điểm 1 x , viên bi ở vị trí M1 có y f x 1 1 = ( ) . Khi đó, trong khoảng thời gian từ 0 x đến 1 x , quãng đường viên bi đi được là M M f x f x 0 1 1 0 = − ( ) ( ) (Hình 2). Vậy vận tốc trung bình của viên bi trong khoảng thời gian đó là . Nếu 1 0 x x − càng nhỏ thì tỉ số trên càng phản ánh chính xác hơn sự nhanh chậm của viên bi tại thời điểm 0 x . Từ đó, người ta xem giới hạn của tỉ số ( 1 0 ) ( ) 1 0 f x f x x x − − khi 1 x dần 0 x là vận tốc tức thời tại thời điểm 0 x của viên bi, kí hiệu là v x( 0 ) . Nói cách khác, ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 1 0 lim x x f x f x v x → x x − = − . Giá trị v x( 0 ) gọi là đạo hàm của hàm số ( ) 1 2 2 y f x gx = = tại thời điểm 0 x . b) Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t , Q Q t = ( ) . Cường độ trung bình trong khoảng thời gian 0 t t − được xác định bởi công thức ( ) ( 0 ) 0 Q t Q t t t − − . Nếu 0 t t − càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm 0 t . Người ta đưa ra định nghĩa sau đây:
Giới hạn hữu hạn (nếu có) ( ) ( ) 0 0 0 lim t t Q t Q t → t t − − được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 0 t . 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Hoạt động 1. Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 0 x s =1 trong bài toán tìm vận tốc tức thời. Lời giải Vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm 0 x s =1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .1 .9,5 .9,8 1 2 2 2 2 1 lim lim lim 9,8 / x x x 1 1 1 gx g x f x f v m s → → → x x x − − − = = = = − − − Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng (a b; ) và điểm x a b 0 ( ; ) . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x → x x − − thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y f x = ( ) tại 0 x và được kí hiệu là f x ( 0 ) hoặc 0 x y  . Nhận xét. Trong định nghĩa trên, ta đặt: 0  = − x x x và gọi x là số gia của biến số tại điểm 0 x ;  = +  − y f x x f x ( 0 0 ) ( ) và gọi y là số gia của hàm số ứng với số gia x tại điểm 0 x . Khi đó, ta có: ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 0 lim lim x x f x x f x y f x  →  → x x +  −   = =   . 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Cho hàm số y f x = ( ) xác định trên khoảng (a b; ) và điểm 0 x thuộc khoảng đó. Để tính đạo hàm f x ( 0 ) của hàm số y f x = ( ) tại 0 x , ta lần lượt thực hiện ba bước sau: Bước 1. Xét x là số gia của biến số tại điểm 0 x . Tính  = +  − y f x x f x ( 0 0 ) ( ). Bước 2. Rút gọn tỉ số y x   . Bước 3. Tính 0 lim x y  → x   . Kết luận: Nếu 0 lim x y a  → x  =  thì f x a ( 0 ) = . Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số ( ) 1 f x x = tại 0 x = 2 bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm 0 x = 2 . Ta có:  = +  − y f x f (2 2 ) ( ) 1 1 2 2 x = − +  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x x x x − +  − = = +  +  .
Suy ra: ( ) 1 2 2 y x x  − =  +  . + Ta thấy: ( ) 0 0 1 1 lim lim x x 2 2 4 y  →  → x x  − − = =  +  . Vậy ( ) 1 2 4 f −  = . ❓ Tính đạo hàm của hàm số f x x ( ) = 2 tại 0 x = 3 bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm 0 x = 3. Ta có:  = +  − y f x f (3 3 ) ( ) =  + − =  2 3 2.3 2 ( x x ) . Suy ra: 2 y x  =  . + Ta thấy: 0 0 lim lim 2 2 x x y  →  → x  = =  . Vậy f (3 2 ) = . Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số ( ) 2 f x x = tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm x . Ta có:  = +  − y f x x f x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = +  − =  +  x x x x x x 2 . Suy ra: 2 y x x x  = +   . + Ta thấy: ( ) 0 0 lim lim 2 2 x x y x x x  →  → x  = +  =  . Vậy f x x ( ) = 2 . ❓ Tính đạo hàm của hàm số ( ) 3 f x x = tại điểm x bất kì bằng định nghĩa. Lời giải + Xét x là số gia của biến số tại điểm x . Ta có:  = +  − y f x x f x ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 2 = +  − =  +  +  =  +  +  x x x x x x x x x x x x x 3 . 3. . . 3 3 . . Suy ra: ( ) 2 2 3 3 . y x x x x x  = +  +   . + Ta thấy: ( ) 2 2 2 0 0 lim lim 3 3 . 3 x x y x x x x x  →  → x  = +  +  =  . Vậy ( ) 2 f x x  = 3 . Nhận xét. Hàm số ( ) 2 f x x = có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng (− +  ; ) . Ta nói hàm số đó có đạo hàm trên khoảng (− +  ; ) . Một cách tổng quát: Hàm số y f x = ( ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a b; ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. 4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t = ( ) , với s s t = ( ) là một hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở đầu, vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm 0 t là đạo hàm của hàm số tại 0 t : v t s t ( 0 0 ) = ( ) II.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị (C) , một điểm M0 cố định thuộc (C) có hoành độ 0 x . Với mỗi điểm M thuộc (C) khác M0 , kí hiệu M x là hoành độ của điểm M và M k là hệ số góc của cát tuyến M M0 . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn 0 0 lim M M x x k k → = . Khi đó, ta coi đường thẳng M T0 đi qua M0 và có hệ số góc 0 k là vị trí giới hạn của cát tuyến M M0 khi điểm M di chuyển dọc theo (C) dần tới M0 . Đường thẳng M T0 được gọi là tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 , còn M0 được gọi là tiếp điểm (Hình 3). Hình 3 a) Xác định hệ số góc 0 k của tiếp tuyến M T0 theo 0 x . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0 . Ta có: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim M M M M x x x x M f x f x k k f x → → x x − = = =  − . Như vậy ta có kết luận sau: + Đạo hàm của hàm số y f x = ( ) tại điểm 0 x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M x f x 0 0 0 ( ; ( )). + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x = ( ) tại điểm M x f x 0 0 0 ( ; ( )) là y f x x x f x = − + ( 0 0 0 )( ) ( ). Ví dụ 3. Cho hàm số 2 y x = − có đồ thị (C). a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (3; 9 − ) . Lời giải a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 có hệ số góc là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3 lim lim lim 3 6 x x x 3 3 f x f x f x → → → x x − − − −  = = = − − = − − − . b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M (3; 9 − ) là: y x = − − + − 6 3 9 ( ) ( ) hay y x = − + 6 9 .